Círculo unitario, gráficas de sen/cos/tan e identidades pitagóricas — visualizadas en tiempo real
Valores exactos en ángulos notables — expresados con radicales.
| θ (grados) | θ (rad) | sen(θ) | cos(θ) | tan(θ) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | no definida |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −√3/2 | −√3/3 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
Observa cómo sen²(θ) + cos²(θ) = 1 siempre se cumple — mueve el ángulo para verlo.
Del círculo unitario a las ondas, la arquitectura y la navegación
El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen. Para cualquier ángulo θ, el punto donde la recta corta al círculo tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Esta definición geométrica extiende las funciones trigonométricas más allá de los triángulos.
A partir del círculo unitario se definen las seis funciones fundamentales: seno (proyección vertical), coseno (proyección horizontal), tangente (sen/cos), y sus recíprocas: cosecante, secante y cotangente.
La identidad fundamental sen²(θ) + cos²(θ) = 1 se demuestra visualmente: es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo formado por el punto (cos θ, sen θ), el origen y el eje X. De ella se derivan: 1 + tan²(θ) = sec²(θ) y 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
Los ángulos 0°, 30°, 45°, 60° y 90° (y sus simétricos) tienen valores exactos expresables con radicales simples: √2/2 ≈ 0,707 y √3/2 ≈ 0,866. Memorizar estos valores facilita el cálculo mental en la educación media (bachillerato, preparatoria o secundaria) y la universidad.
La trigonometría aparece en física (ondas sonoras, electromagnéticas, movimiento oscilatorio), arquitectura (cálculo de cargas y ángulos estructurales), GPS y navegación(trilateración mediante distancias) y música (síntesis de sonido por series de Fourier).
| Función | Definición geométrica | Rango | Período | Asíntotas |
|---|---|---|---|---|
| sen(θ) | Proyección vertical en el círculo unitario | [−1, 1] | 2π | Ninguna |
| cos(θ) | Proyección horizontal en el círculo unitario | [−1, 1] | 2π | Ninguna |
| tan(θ) | sen(θ)/cos(θ) — pendiente de la línea | (−∞, +∞) | π | θ = π/2 + nπ |
| csc(θ) | 1/sen(θ) | (−∞, −1] ∪ [1, +∞) | 2π | θ = nπ |
| sec(θ) | 1/cos(θ) | (−∞, −1] ∪ [1, +∞) | 2π | θ = π/2 + nπ |
| cot(θ) | cos(θ)/sen(θ) | (−∞, +∞) | π | θ = nπ |
Comprende seno y coseno geométricamente para el examen de admisión a la universidad (selectividad/EBAU en España, examen de admisión en preparatoria o secundaria en Latinoamérica). El círculo unitario es la herramienta clave para memorizar ángulos notables.
Tip: los ángulos notables se derivan de dos triángulos simples.
Las ondas sinusoidales son la base de la síntesis de sonido. La frecuencia determina la altura (nota) y la amplitud determina el volumen.
Tip: la síntesis aditiva combina senos para crear cualquier timbre.
Cálculo de ángulos en estructuras, triángulos y escalas usando la ley de senos y cosenos. Imprescindible para fuerzas y cargas en planos inclinados.
Tip: la ley de cosenos generaliza el teorema de Pitágoras.
La trigonometría esférica es la base del GPS y la navegación aérea. Las distancias entre puntos en la Tierra se calculan con la fórmula haversine.
Tip: el GPS usa trilateración mediante distancias a los satélites.
Es el teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario. El punto (cos θ, sen θ) siempre está sobre un círculo de radio 1, por lo que la suma de los cuadrados de sus coordenadas es siempre 1.
Compruébalo en el visualizador: sin importar el ángulo, la tarjeta "sen²+cos²" siempre muestra 1,000.
Los grados (°) dividen la circunferencia en 360 partes. Los radianes miden el arco en función del radio: 2π radianes = 360°. Los radianes son más naturales en cálculo diferencial e integral.
Regla de conversión: multiplicar grados por π/180 da radianes.
La amplitud es la altura máxima de la onda (cuánto oscila). La frecuencia es cuántas veces se repite la onda por unidad. En A·sen(ωx + φ): A es amplitud, ω es frecuencia angular y φ es fase.
Pruébalo en la pestaña Gráficas: cambia A y ω para ver el efecto visual.
Ley de senos: cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a uno. Ley de cosenos: cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados.
La ley de cosenos es la generalización del teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos.
La tangente es sen(θ)/cos(θ). En 90° y 270°, el coseno es exactamente 0, lo que haría una división por cero. Por eso la tangente tiene asíntotas verticales en esos puntos.
En la pestaña Círculo Unitario, arrastra el ángulo a 90°: verás que la tarjeta de la tangente dice «no definida»: no es un número, tampoco infinito.
La fase (φ) desplaza la onda horizontalmente. Si φ = π/2, la onda del coseno y la del seno coinciden: cos(x) = sen(x + π/2). La fase es clave en electrónica para sincronizar señales.
En la pestaña Gráficas, mueve el slider de fase para ver el desplazamiento horizontal.
Memoriza los ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) y sus coordenadas. Usa la pestaña "Círculo Unitario" de este visualizador para verlos en acción.
No memorices fórmulas abstractas: seno es la altura del punto en el círculo, coseno es la anchura. El visualizador muestra estas proyecciones con líneas de colores.
Divide la identidad pitagórica por cos²(θ) y obtienes 1+tan²=sec². Divídela por sen²(θ) y obtienes 1+cot²=csc². No hace falta memorizarlas: se derivan.
Resuelve problemas con triángulos de la vida real: cálculo de alturas, distancias inaccesibles, ángulos en estructuras. La práctica consolida la teoría.
La pestaña Gráficas muestra cómo A·sen(ωx+φ) cambia con cada parámetro. Este es el puente entre trigonometría y física de ondas, electrónica y música.
Tenlo siempre como referencia. Todos los valores trigonométricos se leen directamente de él.
Aprende los ángulos en radianes (π/6, π/4, π/3, π/2) para el cálculo diferencial. Son imprescindibles en análisis.
Recuerda que tan(θ) = sen(θ)/cos(θ). No necesitas memorizarla por separado: se obtiene en un paso.
Distingue entre período (cuánto tarda en repetirse) y frecuencia (cuántas veces por unidad). Son recíprocos.
Comprueba siempre el signo: en el tercer cuadrante, seno y coseno son negativos, pero la tangente es positiva.