Cómo cualquier señal se descompone en sumas de senos · Síntesis interactiva · Espectro · Epiciclos
Cada slider controla una onda sinusoidal (frecuencia + amplitud). La curva negra es la suma de todas — esto es exactamente lo que hace Fourier, pero al revés: él analiza la suma para encontrar los componentes.
El espectro muestra qué frecuencias están presentes y con qué intensidad. Esto es lo que la Transformada de Fourier «ve» cuando analiza una señal: no el tiempo, sino las frecuencias.
Prueba a cargar la onda cuadrada con 5 armónicos y observa el espectro: solo hay barras en frecuencias impares (1, 3, 5 Hz) con alturas decrecientes — la firma matemática de una onda cuadrada.
Fourier demostró que cualquier señal periódica puede representarse como círculos que giran dentro de círculos (epiciclos). El punto en el extremo del último círculo traza la señal. Esta visualización muestra la aproximación de la onda cuadrada con 5 armónicos.
Pulsa para ver los círculos que dibujan la onda cuadrada de Fourier en tiempo real.
La Transformada de Fourier está en el núcleo de tecnologías que usas cada día — aunque nunca lo veas.
El formato MP3 aplica la transformada de Fourier (y su variante MDCT) a bloques de audio de 26 ms. Identifica las frecuencias presentes y elimina las que el oído humano no puede percibir (enmascaramiento psicoacústico). Resultado: archivos 10× más pequeños sin pérdida perceptible.
De señales a frecuencias: la idea que está en el MP3, JPEG y la RMN
En 1807, Jean-Baptiste Joseph Fourier demostró algo sorprendente: cualquier función periódica puede expresarse como suma de senos y cosenos. Lo que parecía un truco matemático resultó ser una de las ideas más poderosas de toda la ciencia.
La Transformada de Fourier es la generalización para señales no periódicas: toma una señal en el dominio del tiempo y la convierte al dominio de las frecuencias. En lugar de preguntarse «¿cuál es el valor en este momento?», pregunta «¿qué frecuencias están presentes y con qué intensidad?».
Para señales periódicas (que se repiten). Produce un número discreto de frecuencias (armónicos). Ejemplo: onda cuadrada, triangular.
Para señales arbitrarias (incluso no periódicas). Produce un espectro continuo. Ejemplo: una grabación de voz.
En la práctica digital se usa la Transformada de Fourier Discreta (DFT) y su versión rápida, la FFT (Fast Fourier Transform), que redujo el tiempo de cálculo de O(n²) a O(n·log n) — un salto histórico en 1965.
Porque convierte problemas difíciles en el dominio del tiempo en problemas simples en el dominio de las frecuencias. La convolución (operación compleja) se convierte en multiplicación simple. El filtrado de señales se vuelve trivial. La compresión de datos se hace posible.
Joseph Fourier (1768–1830) fue un matemático francés que acompañó a Napoleón a Egipto y luego estudió la conducción del calor. Su trabajo sobre la ecuación de calor le llevó a desarrollar las series que llevan su nombre. La Academia de Ciencias rechazó inicialmente su trabajo por falta de rigor — no tenía la demostración de convergencia. Lagrange, Laplace y Legendre tardaron en aceptarlo. Hoy es uno de los pilares del análisis matemático.
Transformada de Fourier
F(ω) = ∫₋∞^∞ f(t) · e^(−iωt) dt
Donde f(t) es la señal en el tiempo, F(ω) es el espectro de frecuencias y e^(−iωt) = cos(ωt) − i·sin(ωt) (fórmula de Euler). La integral «mide» cuánto de cada frecuencia ω está presente en la señal.
El MP3 elimina frecuencias que el oído humano no puede distinguir — Fourier hecho utilidad. El truco psicoacústico: si hay un sonido fuerte a 1000 Hz, el oído no puede percibir sonidos suaves cercanos (enmascaramiento). El MP3 aplica Fourier, identifica estas frecuencias «tapadas» y las borra. El resultado suena igual al original pero ocupa 10 veces menos espacio.