Ecuación canónica
(x )² + (y )² = 4² = 16
Centro: (0, 0)Radio: 4Longitud: 25.13Área: 50.27
Explora las cónicas — circunferencia, elipse, parábola e hipérbola — con gráficas interactivas, ecuaciones en tiempo real y coordenadas polares
12 ejercicios con solución, siempre los mismos y en el mismo orden. Un profesor puede decir «resuelve los casos 3, 7 y 11» y corregir sin ambigüedad.
Cada caso da una ecuación general: complétala a mano y luego compruébala escribiendo sus coeficientes en la pestaña «Desde la ecuación». Ninguno pide «p» ni «a» a secas, que cada libro define a su manera: se piden focos, centros, directrices, distancias y excentricidades.
Completa cuadrados en x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 y halla el radio de la circunferencia.
Cónicas, focos, ecuaciones canónicas y coordenadas polares explicados visualmente
Las cónicas reciben su nombre porque se obtienen al cortar un cono de revolución con un plano. Dependiendo del ángulo del corte obtenemos cuatro curvas distintas:
Cada cónica tiene focos — puntos especiales con propiedades métricas únicas. En la elipse, la suma de distancias de cualquier punto a los dos focos es constante (2a). En la hipérbola, la diferencia es constante (2a). En la parábola, cada punto equidista del foco y de la directriz.
La excentricidad e mide cuánto se aleja la cónica de un círculo: e=0 es circunferencia, 0<e<1 es elipse, e=1 es parábola, e>1 es hipérbola.
Las coordenadas polares (r, θ) localizan un punto por su distancia al origen (r) y el ángulo θ medido desde el eje positivo. Conversión: x = r·cos θ, y = r·sin θ. Curvas como la rosa de pétalos, la espiral o la cardioide son mucho más sencillas de expresar en polares que en cartesianas.
| Cónica | Ecuación canónica | Focos | Excentricidad | Aplicación |
|---|---|---|---|---|
| Circunferencia | x² + y² = r² | Centro (h, k) | e = 0 | Ruedas, antenas omnidireccionales |
| Elipse | x²/a² + y²/b² = 1 | (±c, 0) con c = √(a²−b²) | e = c/a < 1 | Órbitas planetarias, espejos elípticos |
| Parábola | y = x²/4p | F = (0, p) | e = 1 | Antenas parabólicas, faros |
| Hipérbola | x²/a² − y²/b² = 1 | (±c, 0) con c = √(a²+b²) | e = c/a > 1 | GPS hiperbólico, cámaras gran angular |
Las órbitas planetarias son elipses con el Sol en un foco (leyes de Kepler). Las trayectorias de cometas son hipérbolas o parábolas según la velocidad de escape.
La fórmula unificadora en polares: r = p / (1 + e·cos θ) describe cualquier órbita cósmica.
Las antenas parabólicas concentran toda la señal en el foco. Los reflectores de satélite usan superficies elípticas para redirigir la señal entre los dos focos.
Una parábola refleja perfectamente las ondas paralelas al eje hacia su único foco.
Los arcos parabólicos en puentes distribuyen las cargas de forma óptima (Torre Eiffel, Puente Golden Gate). Las cúpulas elípticas tienen el efecto acústico: los ruidos se propagan entre focos.
La Sala de los Susurros en el Capitolio de Washington usa geometría elíptica.
Las cónicas aparecen en exámenes de secundaria, bachillerato y preparatoria, y en las pruebas de acceso o exámenes de admisión universitaria (selectividad o EBAU en España). Reconocer ecuaciones, identificar tipo, calcular focos y excentricidad son ejercicios habituales.
El signo entre los términos cuadráticos es la clave: (+/+) elipse, (+/−) hipérbola, sin uno → parábola.
Porque se obtienen al seccionar un cono de revolución con un plano. El matemático griego Apolonio de Perga las estudió en el siglo III a.C. y las clasificó según el ángulo del corte respecto al eje del cono.
Imagina cortar un cucurucho de helado con un cuchillo en distintos ángulos: obtienes círculo, elipse, parábola o hipérbola.
El signo entre los dos términos cuadráticos es el indicador: si ambos tienen signo positivo (x²/a² + y²/b² = 1) es una elipse. Si uno es positivo y el otro negativo (x²/a² − y²/b² = 1) es una hipérbola.
Regla rápida: suma de cuadrados = elipse (cerrada); resta de cuadrados = hipérbola (abierta).
Los focos son puntos especiales con propiedades métricas únicas. En la elipse, todo punto de la curva cumple que la suma de sus distancias a los dos focos es constante (= 2a). En la parábola, cada punto equidista del foco y de la directriz. Estas propiedades tienen aplicaciones ópticas y acústicas directas.
Las coordenadas cartesianas (x, y) ubican un punto por su desplazamiento horizontal y vertical. Las polares (r, θ) lo ubican por la distancia al origen y el ángulo. Se relacionan mediante x = r·cos θ e y = r·sin θ. Muchas curvas (espirales, rosas) son mucho más simples en polares.
La circunferencia tiene e = 0 (perfectamente circular). A medida que e crece hacia 1, la elipse se aplana. En e = 1 tenemos la parábola (abierta al infinito). Para e > 1 la hipérbola se abre cada vez más; cuando e → ∞ las ramas se vuelven casi rectas.
La excentricidad mide "cuánto se aleja la forma del círculo perfecto".
El nombre viene del griego "kardia" (corazón) por su forma característica, aunque matemáticamente es r = a(1 + cos θ). Se genera también como la trayectoria de un punto en una circunferencia que rueda alrededor de otra del mismo radio. Aparece en los patrones de micrófonos cardióides.
Observa los términos cuadráticos: ¿aparecen x² e y² con el mismo signo? → elipse o circunferencia. ¿Con signos distintos? → hipérbola. ¿Solo aparece uno de los dos? → parábola.
Completa cuadrados si es necesario para expresar la ecuación en su forma estándar: (x−h)²/a² ± (y−k)²/b² = 1. Esto te da el centro (h, k) y los parámetros a y b directamente.
Para elipse: c = √(a²−b²). Para hipérbola: c = √(a²+b²). Para parábola: el parámetro p está directamente en la ecuación (4p es el coeficiente del término lineal).
e = c/a para elipse e hipérbola. Verifica: e = 0 → circunferencia, 0 < e < 1 → elipse, e = 1 → parábola, e > 1 → hipérbola. Esto confirma tu identificación del paso 1.
Señala el centro o vértice, los focos en su posición exacta (±c desde el centro), los semiejes a y b, y en el caso de la hipérbola traza las asíntotas y = ±(b/a)x.
Memoriza: (+/+) → elipse o circunf., (+/−) → hipérbola, solo un cuadrado → parábola. Es la clave más rápida.
Los focos de la elipse siempre están dentro de la curva. Los de la hipérbola están fuera de cada rama. La parábola tiene un único foco.
Circunferencia: ninguno (o el centro). Parábola: 1 foco. Elipse e hipérbola: 2 focos. Esto ayuda a distinguirlas rápidamente.
La excentricidad cuantifica cuánto se aleja la cónica de la circunferencia perfecta. A mayor e, más "elongada" o "abierta" es la curva.
En coordenadas polares r = p/(1+e·cos θ) unifica todas las cónicas en una sola fórmula cambiando únicamente e. Fundamental en mecánica orbital.
Elipse: c² = a²−b² (resta). Hipérbola: c² = a²+b² (suma). Son fórmulas distintas: no las confundas.