Aproxima la integral definida con sumas de Riemann. Ajusta n, los límites a y b, y compara 4 métodos con el valor exacto. Ahí vive el concepto de integral como límite de áreas.
Función simétrica par. Integral [-a, a] = 2·a³/3.
De las sumas de Riemann al teorema fundamental del cálculo
La integral definida de f en [a, b], escrita ∫ab f(x) dx, es el área con signo entre la curva y el eje X en ese tramo. Cuando f > 0, se suma; cuando f < 0, se resta. Su definición rigurosa es un límite de sumas de áreas de rectángulos cada vez más finos:
Activa el simulador con n = 5 y luego salta a n = 100: verás cómo los rectángulos se adaptan a la curva y la suma se acerca al valor exacto. Ese es exactamente el límite que define la integral.
| Función f(x) | Primitiva F(x) | Validez |
|---|---|---|
| k (constante) | k · x + C | Todo ℝ |
| xn, n ≠ −1 | xn+1/(n+1) + C | Todo ℝ (salvo n < 0 en x = 0) |
| 1/x | ln|x| + C | x ≠ 0 |
| ex | ex + C | Todo ℝ |
| sen(x) | −cos(x) + C | Todo ℝ |
| cos(x) | sen(x) + C | Todo ℝ |
| 1/(1 + x²) | arctan(x) + C | Todo ℝ |
Si v(t) es la velocidad de un coche, ∫0T v(t) dt es la distancia recorrida en [0, T]. Por eso un cuentakilómetros integra continuamente la velocidad.
El trabajo realizado por una fuerza variable es W = ∫ F(x) dx. La integral es la única forma de sumar correctamente cuando la fuerza cambia con la posición (resortes, gravedad, etc.).
Para una variable continua, P(a < X < b) = ∫ab f(x) dx donde f es la PDF. El área bajo la curva normal entre dos límites es la probabilidad de ese tramo.
El valor medio de f en [a, b] es (1/(b−a)) · ∫ab f(x) dx. Por ejemplo, la temperatura media de un día se obtiene integrando T(t) y dividiendo por 24 horas.
La indefinida ∫ f(x) dx es una familia de funciones F(x) + C cuya derivada es f. La definida ∫ab f(x) dx es un número que representa el área con signo entre x = a y x = b.
Conexión: definida = F(b) − F(a) (el +C se cancela al restar). Es el teorema fundamental del cálculo.
Izquierda y derecha tienen un error proporcional a Δx (orden 1). Punto medio y trapecio tienen error proporcional a Δx² (orden 2): para reducir el error a la cuarta parte solo necesitas duplicar n. Por eso convergen mucho más rápido.
En el simulador: con n = 10 prueba los 4 métodos en x²: izquierda y derecha dan errores grandes, punto medio y trapecio dan errores 10× menores.
Hay funciones (e−x², sen(x²)/x, sen(x)/x, ex/x...) cuyas integrales NO se pueden expresar con funciones elementales. En esos casos hay que aproximar numéricamente con métodos como los del simulador, o con métodos más sofisticados (Simpson, Gauss-Legendre).
Es el caso de la gaussiana e−x². Probablemente la integral más importante de toda la estadística no tiene primitiva elemental.
La integral suma áreas bajo el eje X con signo negativo. Por eso ∫02π sen(x) dx = 0: el área positiva del primer semiperiodo se cancela exactamente con la negativa del segundo. Para calcular el área geométrica total debes integrar |f(x)| o partir el dominio.
En el simulador, prueba la cúbica con a = −1 y b = 1: la integral da 0, pero el área geométrica es 0,5.
El Teorema Fundamental del Cálculo: si F(x) = ∫ax f(t) dt, entonces F'(x) = f(x). Es decir, derivar e integrar son operaciones inversas. Por eso, para calcular una integral definida, basta encontrar una primitiva y restar: F(b) − F(a).
Esta es la razón por la que la tabla de integrales es prácticamente la tabla de derivadas leída al revés.
Lee con cuidado: ¿integras de 0 a 1? ¿de −π a π? ¿la función está en términos de x o de otra variable? El cambio de variable es una de las técnicas básicas.
Usa la tabla básica, suma, producto por constante, partes (∫u dv = uv − ∫v du), sustitución (cambio de variable). Si f es polinomio o trigonométrica básica, será inmediato.
Es el corazón del Teorema Fundamental del Cálculo. Sustituye los dos límites y resta. El + C de la primitiva indefinida se cancela: por eso no hace falta arrastrarlo en una integral definida.
Si la integral es positiva, el área neta está por encima del eje X. Si es negativa, está mayoritariamente por debajo. Si es 0, las áreas positiva y negativa se cancelan (función impar en intervalo simétrico).
Especialmente en exámenes (EBAU y Bachillerato en España, preparatoria y secundaria en Latinoamérica, o cálculo en la universidad): aproxima con n = 10 rectángulos por punto medio. Si tu resultado analítico difiere mucho del numérico, hay un error. Es la forma más rápida de detectar fallos de signo o de cálculo.
Esboza la función y marca a y b. Si f cambia de signo en el tramo, hazte una idea de dónde se cancelan áreas. Te ahorra errores de signo y te permite validar el resultado.
Si quieres el área geométrica y no la integral con signo, divide [a, b] en los tramos donde f es positiva y donde es negativa, integra cada uno y suma valores absolutos.
El método de Simpson combina punto medio y trapecio: error de orden 4 (Δx⁴). Con solo n = 10 ya da resultados con 6-7 dígitos de precisión. Es el siguiente paso tras los métodos del simulador.
Si tienes dudas sobre una integral analítica, ejecuta la suma de Riemann con n = 500 (punto medio) y compara. Coincidencia hasta 4 decimales = tu primitiva probablemente está bien.