Mueve el punto P sobre la curva y observa cómo gira la recta tangente. Su pendiente es exactamente f'(x): ahí vive el concepto de derivada.
Mínimo en x = 0. La derivada es lineal y pasa por el origen.
De la recta tangente al cálculo diferencial
La derivada de una función f en un punto x = a, escrita f'(a), es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en ese punto. Mide la velocidad de cambio de f en x = a.
Esa expresión es la pendiente de la secante entre los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)). Cuando h se acerca a 0, la secante se transforma en la tangente, y su pendiente se convierte en f'(a). Activa el modo secante arriba para verlo en directo.
| Función f(x) | Derivada f'(x) | Recordar |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | Una recta horizontal no tiene pendiente |
| xn | n · xn−1 | Regla del exponente: baja n y resta uno |
| sen(x) | cos(x) | Sen → cos (sin signo) |
| cos(x) | −sen(x) | Cos → −sen (signo negativo) |
| ex | ex | Única función que es su propia derivada |
| ln(x) | 1/x | Solo definida para x > 0 |
| 1/x = x−1 | −1/x² | Aplicación directa de la regla del exponente |
| √x = x1/2 | 1 / (2√x) | Pendiente infinita en x = 0 (tangente vertical) |
Si s(t) describe la posición de un coche en el tiempo, s'(t) es su velocidad instantánea. Por eso el cuentakilómetros marca derivadas en tiempo real, no medias.
En economía, si C(q) es el coste total de producir q unidades, C'(q) es el coste marginal: cuánto cuesta producir una unidad más. Decisiones clave de producción dependen de él.
Para optimizar (maximizar beneficio, minimizar coste, encontrar la altura máxima de un proyectil), se busca dónde f'(x) = 0 y se estudia el signo a su alrededor.
Velocidad de una reacción química, ritmo de cambio de temperatura, crecimiento de una población: todas son derivadas de magnitudes respecto al tiempo.
Porque una curva no tiene una pendiente única: cambia en cada punto. La tangente es la mejor aproximación lineal en un punto concreto, y su pendiente captura cómo cambia la función justo ahí.
Imagina que conduces por una carretera curva: tu velocidad lateral instantánea está dictada por la inclinación de la tangente al asfalto, no por la curvatura global.
La derivada es un límite: el límite de la pendiente de la secante cuando los dos puntos se acercan. Sin la idea de límite, la derivada no se podría definir rigurosamente. Activa el modo secante en el simulador y reduce h para verlo.
La pendiente secante (y −y₀)/(x−x₀) es la velocidad media. El límite cuando x→x₀ es la velocidad instantánea.
Cuando la función tiene un pico angular (como |x| en x = 0), una discontinuidad (como 1/x en x = 0) o una tangente vertical (como √x en x = 0). En esos casos no se puede dibujar una única tangente.
Una función puede ser continua pero no derivable: |x| es el ejemplo clásico. La derivabilidad es más restrictiva que la continuidad.
Si f'(a) = 0 y f'(x) cambia de positiva a negativa en a, hay un máximo local. Si cambia de negativa a positiva, hay un mínimo local. Si no cambia de signo, es un punto de inflexión horizontal.
El criterio de la segunda derivada: si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, es mínimo. Si f''(a) < 0, es máximo. Si f''(a) = 0, no concluye.
e (≈ 2,718) se define justamente como el número cuya función exponencial tiene pendiente 1 en x = 0. De ahí se deduce que la pendiente en cualquier x es eˣ. Es la única base con esta propiedad: por eso e es tan especial en cálculo.
Para 2ˣ, la derivada es 2ˣ · ln(2). Solo eˣ se "auto-deriva" sin factor extra.
¿Es una suma, un producto, un cociente, una composición? Cada estructura tiene su propia regla. Reconocerla es el 80 % del trabajo.
Suma: (f+g)' = f' + g'. Producto: (f·g)' = f'·g + f·g'. Cociente: (f/g)' = (f'·g − f·g')/g². Cadena: (f∘g)' = f'(g(x)) · g'(x).
Usa la tabla básica: xn → n·xn−1, sen → cos, cos → −sen, eˣ → eˣ, ln(x) → 1/x. Si tienes que componer, no olvides la regla de la cadena.
Saca factor común, agrupa, reduce fracciones. Una derivada bien simplificada se interpreta mejor y se evalúa más rápido en exámenes.
Elige un valor x₀, calcula f'(x₀) con tu fórmula y compáralo con la pendiente de la secante (f(x₀+0,001)−f(x₀))/0,001. Si la diferencia es enorme, hay un error.
Si dominas regla del producto, cociente y cadena, puedes derivar cualquier combinación. Memorizar derivadas concretas solo te resuelve un examen, las reglas te resuelven todos.
Antes de dar un resultado, mira si tiene sentido. Si la función crece y obtienes f' < 0, hay un error. La intuición visual es tu mejor control de calidad.
En problemas de optimización, esboza la función y marca dónde la tangente es horizontal. Esos puntos son tus candidatos a máximos y mínimos.
Calcula la derivada con reglas y luego compárala con la aproximación numérica. Es la mejor forma de detectar errores de signo, factores olvidados o reglas mal aplicadas.