Observa en tiempo real cómo los parámetros a, b, c y d transforman cualquier función base mediante f(x) = a · g(b·(x − c)) + d.
12 casos, siempre los mismos y en el mismo orden: un profesor puede decir «haz los casos 3, 7 y 11». En cada uno, predice antes de tocar los deslizadores. Al comprobar, tu predicción queda fijada y se abre el botón para cargar la partida arriba y mover tú mismo el deslizador.
Casos comprobados: 0 de 12 · aciertos: 0
Función base: x²Deslizador: cDe 0 a 3
En el simulador, elige x² y parte de f(x) = x² (a = 1, b = 1, c = 0, d = 0). Vas a mover el deslizador c de 0 a 3, con lo que la fórmula pasa a ser f(x) = (x − 3)². Antes de moverlo, predice: ¿hacia dónde se mueve el vértice de la gráfica (su punto más bajo o más alto)?
Busca la x donde lo de dentro del paréntesis, x − c, vale 0.
Cómo a, b, c y d modifican cualquier gráfica
Cuando tenemos una función base g(x) — como el seno, la parábola o el valor absoluto — podemos construir infinitas variantes aplicando cuatro tipos de transformaciones. La fórmula general es:
Cada parámetro actúa de forma independiente sobre la gráfica: a escala verticalmente, b escala horizontalmente, c desplaza de izquierda a derecha y d desplaza hacia arriba o abajo. Entender esto de forma visual es la clave para dominar el análisis de funciones en secundaria, preparatoria y más allá.
El punto especial (c, d) marca el nuevo "origen" de la función transformada: el lugar al que se desplaza el centro o el vértice de la función base.
| Parámetro | Nombre | Efecto sobre la gráfica | Ejemplo concreto |
|---|---|---|---|
| a | Escala vertical / amplitud | Estira (|a|>1) o comprime (0<|a|<1) verticalmente. Si a<0, también refleja respecto al eje X. | a=2 → duplica la altura; a=−1 → invierte la gráfica |
| b | Escala horizontal / frecuencia | Comprime (|b|>1) o estira (0<|b|<1) horizontalmente. Si b<0, refleja respecto al eje Y. | b=2 → período a la mitad; b=0,5 → período doble |
| c | Desfase horizontal | Desplaza la gráfica a la derecha (c>0) o a la izquierda (c<0). | c=3 → desplaza 3 unidades a la derecha |
| d | Desfase vertical | Sube (d>0) o baja (d<0) toda la gráfica. | d=−2 → baja la gráfica 2 unidades |
| (c, d) | Punto de referencia | El nuevo "centro" u origen de la gráfica transformada. | Para x², el vértice se mueve a (c, d) |
| a=b=1, c=d=0 | Identidad | La función transformada coincide con la función base. | f(x) = g(x) — sin cambios |
En ingeniería de sonido, a controla el volumen (amplitud de onda), b determina la frecuencia (tono agudo/grave) y c ajusta la fase. Sumar señales transformadas produce acordes y efectos de eco.
Las ondas mecánicas y electromagnéticas se describen como A·sin(ω(t − φ)) + offset, exactamente nuestro patrón. a es la amplitud, b la frecuencia angular (ω), c el desfase (φ) y d el nivel de reposo.
El crecimiento y las oscilaciones estacionales de poblaciones (depredador-presa) se aproximan con funciones sinusoidales transformadas. d fija la población media y a la magnitud de las fluctuaciones.
Sensores y termómetros aplican transformaciones lineales (parámetros equivalentes a a y d) para convertir la señal bruta en la magnitud física real. La escala Fahrenheit es una transformación afín de Celsius.
Porque la función evalúa g(b·x): para obtener el mismo valor de g que antes necesitabas en x=T, ahora basta con x=T/b. Si b=2, cada ciclo ocurre en la mitad del espacio → gráfica comprimida. Parece contraintuitivo porque actúa "dentro" del argumento.
Truco: b actúa sobre el eje X como el denominador de una fracción. b=2 → período/2. b=1/3 → período×3.
La función evalúa g(x − c). Para que el argumento sea 0 (donde está el "centro" de la función base), necesitamos x=c. Por tanto, el punto central se ha movido a x=c, que está a la derecha del origen si c>0.
Regla: iguala el paréntesis a cero. (x − 3) vale 0 en x = 3 → 3 unidades a la derecha. (x + 3) vale 0 en x = −3 → 3 unidades a la izquierda.
El factor a<0 provoca una reflexión respecto al eje X: los máximos pasan a ser mínimos y viceversa. Además, si |a|≠1, también hay escalado. Por ejemplo, a=−2 duplica la amplitud Y refleja la gráfica.
Para sin(x): a=−1 convierte máximos en mínimos. El seno "se voltea". Equivale a multiplicar todos los valores Y por −1.
b<0 produce una reflexión respecto a la recta vertical x = c (el eje Y si c = 0), además del escalado horizontal si |b| ≠ 1. Que se note depende de la simetría de la función base. En las pares —cos, x² y |x|— g(−u) = g(u), así que el reflejo no cambia la gráfica. En el seno, que es impar, sin(−u) = −sin(u): reflejar en horizontal equivale a voltear en vertical, y con b = −1 la curva pasa por (π/2, −1) en lugar de (π/2, 1). Y √x, que no es par ni impar, pasa al otro lado.
Para x²: b=−1 no cambia la gráfica porque (−x)²=x². Pero para √x sí: con c = 0 la raíz se refleja y solo existe para x≤0.
Los ceros de f(x) = a·g(b·(x−c))+d ya no coinciden con los de g(x). El nuevo cero requiere resolver a·g(b·(x−c))+d = 0, es decir, g(b·(x−c)) = −d/a. Si |d/a| excede el rango de g, la función transformada no tiene ceros reales.
Ejemplo: sin(x) tiene infinitos ceros. Pero 2·sin(x)+3 no tiene ninguno, porque 2·sin(x) oscila entre −2 y +2 y nunca alcanza −3.
Observa la forma general: ¿es acampanada/sinusoidal? → sin o cos. ¿En forma de U? → cuadrática. ¿Forma de V? → valor absoluto. ¿Solo para x≥0 y creciente? → raíz cuadrada.
Busca el vértice (parábola, valor absoluto), el punto de inicio (raíz) o, en el seno, un cruce con su línea media y = d en el que la curva sube (si a y b son positivos). Ese punto es (c, d): el desplazamiento del origen de la función base. En el coseno no hay cruce en x = c: cos(0) = 1, así que en x = c está una cresta, a la altura a + d (un valle si a es negativo), y los cruces con y = d quedan a un cuarto de período a cada lado.
Para sin/cos: a = (valor máximo − valor mínimo) / 2. Para parábola o raíz, compara el ritmo de crecimiento con la función base. Si la gráfica está invertida, a es negativo.
Para funciones periódicas: b = período_base / período_observado. Para sin/cos, el período base es 2π ≈ 6,28. Si el período observado es 3, entonces b ≈ 6,28/3 ≈ 2,1.
Toma un punto visible de la gráfica (x₀, y₀) y comprueba que a·g(b·(x₀−c))+d ≈ y₀. Si no cuadra, revisa el signo de b o c. Un punto bien elegido suele ser el máximo o el paso por cero.
Fácil de recordar: a está "fuera" de g (afecta al resultado → Y), b está "dentro" de g (afecta al argumento → X). Los parámetros exteriores actúan en el eje de salida, los interiores en el de entrada.
Doblar b comprime (no estira) horizontalmente. Reducir b a la mitad estira. Es lo opuesto de la intuición. Memorízalo con la frase: "b grande = función apretada; b pequeño = función extendida".
La fórmula resta c: (x − c) vale 0 en x = c, y ahí cae lo que g tenía en el origen. Por eso el signo que se ve en la fórmula es el contrario de la dirección: (x − 3) → 3 unidades a la derecha; (x + 2) es c = −2 → 2 unidades a la izquierda.
d sube o baja la gráfica entera sin deformarla. Es la única transformación que no cambia ni la forma ni la anchura. Si d=5, suma 5 a cada valor Y. Útil para ajustar el nivel base de una señal.