Mueve la media (μ) y la desviación típica (σ) para ver la curva de Gauss en tiempo real. Calcula probabilidades, puntuaciones Z y la regla 68-95-99.7.
12 problemas con solución, siempre los mismos y en el mismo orden. Un profesor puede decir «resuelve los casos 3, 7 y 11» y corregir sin ambigüedad. Se resuelven con la tabla Z (z con dos decimales, Φ con cuatro): los datos están elegidos para que z salga exacta, así que la tabla y la calculadora dan lo mismo. La corrección admite el redondeo de la tabla (una centésima de z, o una cifra en la cuarta decimal de Φ) y nada más: leer otra fila de la tabla no se da por bueno. Las probabilidades se piden en porcentaje.
Z sigue una distribución normal estándar (media 0 y desviación estándar 1). Calcula P(Z < 1,25). Da el resultado en %, redondeado a dos decimales.
De qué hablamos cuando hablamos de la curva de Gauss
La distribución normal, también llamada campana de Gauss, es el modelo de probabilidad continuo más importante de toda la estadística. Describe innumerables fenómenos naturales, sociales y técnicos cuyos valores se concentran simétricamente en torno a una media.
Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, escrito X ~ N(μ, σ), cuando su función de densidad es:
μ controla dónde está el centro de la campana; σ controla cómo de ancha es. El área total bajo la curva es siempre 1 (probabilidad total).
| Caso | μ | σ | Rango ±2σ (95 %) | Para qué se usa |
|---|---|---|---|---|
| Normal estándar | 0 | 1 | [−2, 2] | Tablas Z, valor crítico |
| Altura hombre adulto (ES) | 176 cm | 7 cm | [162, 190] | Antropometría, talla ropa |
| Coeficiente intelectual | 100 | 15 | [70, 130] | Diagnóstico cognitivo |
| Notas examen estandarizado | 500 | 100 | [300, 700] | Examen de admisión universitaria, SAT |
| Error de medida (laboratorio) | 0 | 0,01 | [−0,02; 0,02] | Calibración, control calidad |
| Duración embarazo | 280 días | 12 días | [256, 304] | Obstetricia |
Altura, peso, longitud de extremidades, presión arterial. La acumulación de muchos pequeños factores genéticos y ambientales produce de forma natural una distribución acampanada.
En cualquier instrumento real, los errores aleatorios se distribuyen normalmente alrededor del valor verdadero. Es la base de la teoría de errores en física experimental.
Las dimensiones de piezas fabricadas en serie (tornillos, botellas, chips) siguen una normal centrada en el valor diseño. Las desviaciones > 3σ se consideran defectuosas (Six Sigma).
Notas de exámenes de admisión universitaria (en preparatoria o al terminar la educación media), SAT, GMAT, CI: se diseñan para que sigan una normal con media y σ fijas, lo que permite comparar candidatos de distintas convocatorias.
Por el Teorema Central del Límite: la suma o promedio de muchas variables aleatorias independientes tiende a seguir una normal, sea cual sea su distribución original. Esto explica por qué aparece en tantos contextos.
Lanza 30 dados de 6 caras y suma los resultados: la distribución de la suma es prácticamente normal, aunque cada dado individual sea uniforme.
En cualquier distribución normal, el 68 % de los valores está entre μ±σ, el 95 % entre μ±2σ, y el 99,7 % entre μ±3σ. Es un referente mental muy útil para hacer estimaciones rápidas sin tablas.
Si las alturas siguen N(176, 7), el 95 % de los hombres mide entre 162 y 190 cm. Solo alrededor del 0,13 % mide más de 197 cm (μ + 3σ): 1 − Φ(3) = 0,0013. La regla, redondeada, daría 0,15 %.
Tipificar es transformar X en Z = (X−μ)/σ, convirtiendo cualquier N(μ, σ) en una N(0,1). Permite usar una única tabla (la Z) para resolver cualquier problema, en lugar de una tabla por cada μ y σ.
Z=2 significa "el valor está 2 desviaciones típicas por encima de la media". Es independiente de las unidades originales.
Sí, como aproximación. Cuando una binomial B(n, p) tiene n grande y p ni muy próximo a 0 ni a 1 (regla práctica: np > 5 y n(1−p) > 5), se aproxima por N(np, √(np(1−p))). Es la base de muchos problemas de Bachillerato.
Aplicar "corrección por continuidad": P(X = k) ≈ P(k−0,5 < Y < k+0,5) donde Y es la normal aproximante.
Los intervalos de confianza para la media usan la normal porque, por el TCL, la media muestral X̄ se distribuye como N(μ, σ/√n). Un intervalo al 95 % es X̄ ± 1,96 · σ/√n, donde 1,96 es el valor Z que deja 2,5 % a cada cola.
Cuanto mayor es n, más estrecho es el intervalo (la √n en el denominador). Para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar la muestra.
Lee el enunciado y reconoce qué variable se distribuye normalmente. Anota explícitamente X ~ N(μ, σ). Cuidado: a veces dan la varianza (σ²) en lugar de la desviación típica.
"Probabilidad de que mida más de 185 cm" → P(X > 185). "Porcentaje de aprobados" → P(X ≥ 5). "Valor superado solo por el 10 %" → buscar a tal que P(X > a) = 0,10.
Calcula Z = (X − μ) / σ para los límites del problema. Recuerda: Z > 0 si X está por encima de la media, Z < 0 si está por debajo. Las tablas habituales dan P(Z ≤ z) para z ≥ 0.
P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z). P(Z < −z) = P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z). P(a < Z < b) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a). Estas tres son suficientes para todos los casos.
No basta con dar "0,1587": di "el 15,87 % de los hombres mide más de 183 cm" (183 = 176 + 7, justo una σ por encima de la media). Si en una muestra de 1000, eso son aproximadamente 159 personas. La cifra debe contar una historia.
Antes de hacer cuentas, esboza la campana, marca μ y la zona pedida. Te ahorra errores de signo y de "mayor/menor que". Este simulador te lo dibuja automáticamente.
Si el resultado dice que P(μ < X < μ+σ) = 0,12, te has equivocado: debe ser ≈ 0,34 (la mitad del 68 %). Es el control de errores más rápido en exámenes.
No existen tablas para cada N(μ, σ): la Z es universal. Tipifica primero, luego busca el valor en la tabla N(0,1) y solo al final interpreta.
Antes de aplicar el modelo, comprueba con un histograma o un test (Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov) que tus datos efectivamente se acercan a una normal. No todo lo continuo es normal.