Crece siempre al mismo ritmo. Cada unidad de x añade la misma cantidad de y. Es la función más intuitiva: "tanto más trabajo, tanto más gano".
5
En el mundo real
Tu sueldo crece 1.500 €/año → lineal. Si ganas 25.000 € hoy, en 10 años ganarás 40.000 €. Crecimiento constante, predecible.
Dato sorprendente
El crecimiento lineal es lo que esperamos intuitivamente. Pero en la naturaleza y la economía, los crecimientos realmente importantes son exponenciales — por eso nos pillan desprevenidos.
¿Cuál crece más rápido?
Al principio, lineal y exponencial se parecen. Pero a largo plazo, la exponencial siempre gana. Si x=10: lineal(10)=50, cuadrática(10)=100, exponencial(10)=~1.594. A x=20 la exponencial vale ~190.000. La logarítmica es la más "tranquila": log(20)≈15.
📏LinealConstante
🚀ExponencialCada vez más rápido
🔊LogarítmicaCada vez más lento
🏀CuadráticaAcelerado (parábola)
📝 Casos para clase
12 casos fijos y numerados: el caso 3 es el mismo para cualquiera que abra esta página, hoy y dentro de un año. Así un encargo del tipo «entra y resuelve el 3, el 7 y el 11» significa lo mismo para toda la clase. Cada caso pide un solo número, con su unidad indicada bajo el campo.
El botón «Ver esta función en la gráfica» coloca arriba la familia del caso con el parámetro más parecido. La gráfica dibuja siempre la versión más simple y creciente de cada familia, así que sirve para comparar la forma del crecimiento, no para leer el resultado del caso.
Has resuelto 0 de 12
1
Cuota fija más consumo
Situación real
Función linealC(x) = 3·x + 20
Un plan de datos cobra 20 unidades monetarias fijas al mes más 3 unidades por cada giga extra que se consuma. ¿Cuánto se paga en un mes en el que se consumen 12 gigas extra?
💡 La cuota fija se paga aunque no se consuma nada: es el valor de la función cuando x = 0.
La situación es LINEAL: una parte fija que no cambia más otra que crece siempre al mismo ritmo. Su forma es y = m·x + b.
Aquí m = 3 (lo que suma cada unidad de x) y b = 20 (la parte fija, lo que vale y cuando x = 0).
Sustituimos x = 12: y = 3 · 12 + 20
Multiplicamos: y = 36 + 20
Sumamos: y = 56
Resultado: 56 unidades monetarias
2
Averiguar el precio por unidad
Cálculo directo
Función linealR(x) = m·x + 12
Un recibo del agua parte de una cuota fija de 12 unidades monetarias y, con 40 metros cúbicos consumidos, asciende a 72 unidades monetarias. Si el coste por metro cúbico es constante, ¿cuánto cuesta cada metro cúbico?
💡 La cuota fija no depende del consumo: réstala del total antes de repartir entre los metros cúbicos.
La PENDIENTE m es lo que sube y cada vez que x aumenta una unidad. Con dos puntos cualesquiera de la recta: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
Primer punto, el de partida: x₁ = 0, y₁ = 12.
Segundo punto, el que da el enunciado: x₂ = 40, y₂ = 72.
Sustituimos: m = (72 − 12) / (40 − 0) = 60 / 40
Dividimos: m = 1,5
Que la pendiente sea la misma con cualquier pareja de puntos es justo lo que define a una función lineal.
Resultado: 1,5 unidades monetarias por metro cúbico
3
El depósito que se vacía
Situación real
Función linealV(x) = −180·x + 4.500
Un depósito contiene 4.500 litros y una fuga le hace perder 180 litros cada hora, siempre al mismo ritmo. ¿Cuántas horas tarda en quedarse vacío?
💡 Vaciarse significa que la función vale cero. La pendiente es negativa porque la cantidad baja.
La cantidad que queda es LINEAL: y = m·x + b, con b = 4500 (lo que hay al empezar) y m = -180 (lo que cambia cada unidad de x).
Que llegue a cero significa y = 0. Planteamos la ecuación: -180·x + 4500 = 0
Pasamos el término independiente al otro lado: -180·x = -4500
Despejamos x = −b / m = -4500 / -180
x = 25
Resultado: 25 horas
4
La altura máxima del lanzamiento
Situación real
Función cuadráticah(t) = −5·t² + 30·t
Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba desde el suelo a 30 metros por segundo. Su altura en metros a los t segundos es h(t) = −5·t² + 30·t. ¿Qué altura máxima alcanza?
💡 El punto más alto de una parábola es su vértice, y su abscisa sale de x = −b / (2·a).
La función es CUADRÁTICA: y = -5·x² + 30·x. Su gráfica es una parábola y, como a es negativo, abre hacia ABAJO: tiene un MÁXIMO.
El vértice —el punto más alto o más bajo— está siempre en x = −b / (2·a). Esta fórmula no hay que deducirla cada vez: es la mitad exacta entre las dos raíces.
Sustituimos: x = -30 / (2 · -5) = -30 / -10 = 3
Ese es el valor de x donde está el máximo. Para saber CUÁNTO vale ahí, se sustituye en la función: y = -5 · 3² + 30 · 3
Operamos: y = -45 + 90 = 45
Resultado: 45 metros
5
El terreno más grande con la misma valla
Cálculo directo
Función cuadráticaA(x) = −x² + 20·x
Se dispone de 40 metros de valla para cerrar un terreno rectangular. Si un lado mide x metros, el otro mide 20 − x, y el área es A(x) = −x² + 20·x. ¿Cuánto debe medir x para que el área sea la mayor posible?
💡 Aquí no se pide el área, sino el lado que la hace máxima: la coordenada x del vértice.
La función es CUADRÁTICA: y = -1·x² + 20·x. Su gráfica es una parábola y, como a es negativo, abre hacia ABAJO: tiene un MÁXIMO.
El vértice —el punto más alto o más bajo— está siempre en x = −b / (2·a). Esta fórmula no hay que deducirla cada vez: es la mitad exacta entre las dos raíces.
Sustituimos: x = -20 / (2 · -1) = -20 / -2 = 10
Ese es el valor de x que se pedía: 10. Sustituyéndolo en la función se obtiene además el valor máximo, 100, que es la otra coordenada del vértice.
Resultado: 10 metros (el lado x)
6
Interés compuesto a diez años
Situación real
Función exponencialS(x) = 2.000 · 1,05^x
Se depositan 2.000 unidades monetarias en un producto de ahorro que rinde un 5 % anual con interés compuesto: cada año el saldo se multiplica por 1,05. ¿Cuánto habrá al cabo de 10 años?
💡 No es 2.000 más el 5 % diez veces: cada año los intereses también generan intereses. Redondea a 2 decimales.
La situación es EXPONENCIAL: cada periodo MULTIPLICA por un mismo factor, en vez de sumar una cantidad fija. Su forma es y = a₀ · b^(x/p).
Aquí a₀ = 2000 (valor de partida), b = 1,05 (el factor de cada periodo) y p = 1 (lo que dura un periodo).
Sustituimos x = 10: el exponente vale 10 / 1 = 10, así que y = 2000 · 1,05^10
Calculamos la potencia: 1,05^10 = 1,6289
Multiplicamos por el valor de partida: y = 2000 · 1,6289 = 3257,7893
Resultado: 3257,79 unidades monetarias
7
Bacterias que se duplican
Situación real
Función exponencialN(x) = 500 · 2^(x/3)
Un cultivo empieza con 500 bacterias y su número se duplica cada 3 horas. ¿Cuántas bacterias hay a las 12 horas?
💡 En 12 horas caben 12 / 3 = 4 duplicaciones. Duplicar cuatro veces es multiplicar por 2⁴, no por 8.
La situación es EXPONENCIAL: cada periodo MULTIPLICA por un mismo factor, en vez de sumar una cantidad fija. Su forma es y = a₀ · b^(x/p).
Aquí a₀ = 500 (valor de partida), b = 2 (el factor de cada periodo) y p = 3 (lo que dura un periodo).
Sustituimos x = 12: el exponente vale 12 / 3 = 4, así que y = 500 · 2^4
Calculamos la potencia: 2^4 = 16
Multiplicamos por el valor de partida: y = 500 · 16 = 8000
Resultado: 8000 bacterias
8
Vida media de un isótopo
Situación real
Función exponencialM(x) = 800 · 0,5^(x/12)
Una muestra de 800 gramos de un isótopo radiactivo tiene una vida media de 12 años: cada 12 años queda la mitad de lo que había. ¿Cuántos gramos quedan al cabo de 36 años?
💡 Es una exponencial con base menor que 1: decrece. En 36 años caben 3 vidas medias, y cada una parte por dos.
La situación es EXPONENCIAL: cada periodo MULTIPLICA por un mismo factor, en vez de sumar una cantidad fija. Su forma es y = a₀ · b^(x/p).
Aquí a₀ = 800 (valor de partida), b = 0,5 (el factor de cada periodo) y p = 12 (lo que dura un periodo).
Sustituimos x = 36: el exponente vale 36 / 12 = 3, así que y = 800 · 0,5^3
Calculamos la potencia: 0,5^3 = 0,125
Multiplicamos por el valor de partida: y = 800 · 0,125 = 100
Como la base es menor que 1, la función DECRECE: cada periodo se queda en el 50 % de lo que había. Eso es exactamente lo que significa una vida media.
Resultado: 100 gramos
9
Cuatro unidades en una escala logarítmica
Situación real
Función logarítmicarazón = 10^(diferencia de magnitudes)
La magnitud de los sismos se mide en una escala logarítmica de base 10: cada unidad multiplica por 10 la amplitud registrada. Si un sismo es de magnitud 7,0 y otro de magnitud 3,0, ¿cuántas veces mayor es la amplitud del primero?
💡 La diferencia entre las dos magnitudes son 4 unidades. En una escala logarítmica esa diferencia no se suma: se convierte en potencia.
Una escala LOGARÍTMICA no suma: multiplica. Cada unidad de la escala equivale a multiplicar por 10 la magnitud real que se está midiendo.
Aquí la diferencia es de 4 unidades de la escala, así que hay que multiplicar por 10 esas 4 veces seguidas.
Eso es una potencia: razón = 10^4
Calculamos: 10^4 = 10.000
Por eso las escalas logarítmicas comprimen tanto: unos pocos puntos de diferencia esconden multiplicaciones enormes.
Resultado: 10.000 veces (cuántas veces mayor)
10
Cuánto tarda un capital en triplicarse
Situación real
Función logarítmicat(M) = log(M) / log(1,06)
Un capital crece un 6 % cada año con interés compuesto, de modo que cada año se multiplica por 1,06. ¿Cuántos años tarda en triplicarse?
💡 La incógnita está en el exponente (1,06^t = 3), y lo que despeja un exponente es el logaritmo. Redondea a 2 decimales.
Un LOGARITMO responde a la pregunta «¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número?». Es la operación que despeja un exponente.
Aquí la base es 1,06 y el número es 3, así que buscamos el exponente y tal que 1,06^y = 3.
Se despeja con el cambio de base: y = log(3) / log(1,06). Vale cualquier base de logaritmo mientras sea la misma arriba y abajo; aquí se usan logaritmos decimales.
log(3) = 0,4771 y log(1,06) = 0,0253
Dividimos (con todos los decimales, no solo los que se muestran arriba): y = 0,4771 / 0,0253 = 18,8542
Dos plantas empiezan a medirse la misma semana. La planta A mide 100 cm y crece 10 cm cada semana. La planta B mide 1 cm y duplica su altura cada semana. ¿En qué semana entera supera por primera vez la planta B a la planta A?
💡 Ve probando semanas enteras y compara las dos alturas. Durante muchas semanas la lineal gana con holgura: esa es la trampa.
La lineal es y = 10·x + 100: SUMA siempre la misma cantidad. La exponencial es y = 1 · 2^(x/1): MULTIPLICA por el mismo factor.
Al principio la lineal va muy por delante. En x = 1: lineal = 110 frente a exponencial = 2.
Se comprueban los valores enteros uno a uno. En x = 7: lineal = 170 y exponencial = 128. La lineal todavía gana.
En x = 8: lineal = 180 y exponencial = 256. La exponencial ADELANTA por primera vez.
Y a partir de ahí la distancia se dispara: en x = 12 la lineal vale 220 y la exponencial 4096.
Esta es la idea central de toda la app: una exponencial siempre acaba superando a cualquier lineal, por muy pequeña que empiece. La única pregunta es CUÁNDO.
Resultado: 8 número de semana
12
Identificar la función de una tabla
Cálculo directo
Función exponencialy = a₀ · b^x (hay que averiguar b)
Esta tabla de pares (x, y) sigue una de las cuatro familias de funciones. Averigua cuál es y responde con la razón constante: el número por el que hay que multiplicar cada valor para obtener el siguiente.
Pares (x, y) del caso 12
x
0
1
2
3
y
3
12
48
192
💡 Prueba primero a restar valores consecutivos. Si las restas no coinciden, prueba a dividirlos.
Para identificar una función a partir de una tabla se miran dos cosas, y siempre en este orden.
Primero, las DIFERENCIAS entre valores consecutivos: 12 − 3 = 9; 48 − 12 = 36; 192 − 48 = 144. No son iguales, así que la función NO es lineal (en una lineal la diferencia sería siempre la misma).
Segundo, los COCIENTES: 12 / 3 = 4; 48 / 12 = 4; 192 / 48 = 4. Todos valen lo mismo.
Cuando el cociente es constante, la función es EXPONENCIAL: cada paso multiplica por esa razón. Aquí la razón vale 4.
La función completa es y = 3 · 4^x, y con ella se puede predecir cualquier término que no esté en la tabla.
Resultado: 4 la razón (número sin unidad)
Práctica sin final
Cuando los 12 casos se queden cortos, este botón inventa uno nuevo cada vez, de cualquiera de las cuatro familias y con la solución explicada igual que los demás.
En enero de 2020, había 500 casos de COVID en el mundo. En marzo, 500.000. En mayo, 5 millones. El crecimiento exponencial es contraintuitivo: cuando los números son pequeños, parece "controlable". Cuando se nota, ya es tarde.
Rendimientos decrecientes (logarítmica)
La primera hora de estudio rinde mucho. La cuarta hora, mucho menos. La octava, casi nada. Esto es una función logarítmica aplicada al aprendizaje. Por eso es mejor estudiar 1h durante 4 días que 4h de golpe.
La parábola del precio perfecto
Si un producto es demasiado barato, no se vende (la gente desconfía). Si es demasiado caro, tampoco. Hay un precio óptimo que maximiza ingresos — una parábola invertida. Encontrarlo es uno de los grandes retos del marketing.
Nota: las funciones aquí presentadas están simplificadas con fines educativos. En la realidad, los fenómenos suelen seguir combinaciones de funciones o tener condiciones de contorno que modifican su comportamiento.