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Ecuaciones lineales, cuadráticas, sistemas 2x2 y polinomios de grado 3+ con la regla de Ruffini, paso a paso
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Son 12 casos fijos: siempre los mismos, en el mismo orden y con los mismos números. El caso 3 es idéntico para cualquiera que abra esta página, hoy y dentro de un año, así que un encargo del tipo «resuelve el 3, el 7 y el 11» significa lo mismo para toda la clase. Cada enunciado pide un solo número —la solución mayor, el discriminante, un determinante, una raíz entera— para que no haya ninguna duda sobre qué se escribe en la casilla.
Has resuelto 0 de 12 (0 %)
Resuelve la ecuación 5x + 12 = 47.
Primero quita el 12 restando a los dos lados; después divide entre 5.
Resultado (el valor de x): 7
Resuelve la ecuación 4(x − 3) = 2x + 10.
El 4 multiplica a TODO lo que hay dentro del paréntesis, también al −3: 4(x − 3) = 4x − 12.
Resultado (el valor de x): 11
La mitad de un número más su cuarta parte suman 9. ¿Cuál es ese número? (Plantea x/2 + x/4 = 9.)
Multiplica TODA la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (aquí 4) y los denominadores desaparecen.
Resultado (el número (el valor de x)): 12
Resuelve x² − 5x + 6 = 0 y escribe la SOLUCIÓN MAYOR de las dos.
Δ = 25 − 24 = 1, así que la raíz cuadrada sale exacta y las dos soluciones son enteras.
Resultado (la solución mayor): 3
Resuelve x² − 6x + 9 = 0. El discriminante vale 0, así que solo hay una solución (doble): escríbela.
Cuando Δ = 0 la fórmula se reduce a x = −b / (2a): el ± deja de importar porque se suma y se resta cero.
Resultado (la solución doble): 3
La ecuación x² + 2x + 5 = 0 no tiene soluciones reales. Demuéstralo: calcula su discriminante Δ y escribe su valor (será negativo).
Δ = b² − 4ac. Aquí no se pide una x, porque no existe ninguna real: se pide el número que lo prueba.
Resultado (el valor del discriminante Δ (con su signo)): −16
Un terreno rectangular mide 3 metros más de largo que de ancho y su área es de 54 m². ¿Cuánto mide el ancho? (Plantea x(x + 3) = 54.)
La ecuación da dos soluciones, pero una es negativa y un ancho no puede serlo: quédate con la positiva, que es la mayor.
Resultado (el ancho en metros (la solución positiva)): 6
En una papelería, 3 cuadernos y 2 bolígrafos cuestan 31 unidades monetarias; 2 cuadernos y 5 bolígrafos cuestan 28. ¿Cuánto cuesta UN cuaderno?
Llama x al precio del cuaderno e y al del bolígrafo. Cada frase del enunciado es una ecuación.
Resultado (el precio de un cuaderno (el valor de x)): 9
El sistema 2x + 3y = 7 / 4x + 6y = 9 tiene determinante principal 0, así que no hay solución única. Para saber si es incompatible o indeterminado se calcula det_x = c₁b₂ − c₂b₁. ¿Cuánto vale det_x?
La segunda ecuación tiene los coeficientes de la primera multiplicados por 2, pero el término independiente no: son rectas paralelas.
Resultado (el valor de det_x): 15
En el sistema x − 2y = 3 / 3x − 6y = 9 la segunda ecuación es la primera multiplicada por 3. Calcula el determinante principal det = a₁b₂ − a₂b₁ y escribe su valor.
Cuidado con los signos: b₁ y b₂ son negativos, y el producto de dos negativos es positivo.
Resultado (el valor del determinante principal det): 0
Factoriza x³ − 4x² + x + 6 con la regla de Ruffini. Tiene tres raíces enteras: escribe la MENOR de las tres.
Los candidatos son los divisores de 6: ±1, ±2, ±3 y ±6. Prueba con los negativos, porque el término independiente es positivo y el polinomio cambia de signo.
Resultado (la raíz entera menor (con su signo)): −1
Una caja tiene tres aristas consecutivas que miden x, x + 1 y x + 2 centímetros, y su volumen es de 60 cm³. Al desarrollar queda x³ + 3x² + 2x − 60 = 0. Halla con Ruffini la única raíz entera: es la arista más corta.
Busca entre los divisores de 60 y empieza por los pequeños: una arista tiene que ser positiva y el volumen es solo 60.
Resultado (la arista más corta en cm (la única raíz entera)): 3
Cuando los 12 casos se queden cortos, este botón inventa uno nuevo cada vez —lineal, cuadrática o sistema— con números elegidos para que la solución salga limpia y con la solución explicada igual que en los demás.
Este contenido es educativo y orientativo.
Métodos, tipos y estrategias para resolver ecuaciones algebraicas paso a paso
| Tipo de Ecuación | Forma general | Número de soluciones | Método principal | Nivel |
|---|---|---|---|---|
| Lineal (1er grado) | ax + b = 0 | 1 solución real | Despejar x directamente | ESO 1º-2º |
| Cuadrática (2º grado) | ax² + bx + c = 0 | 0, 1 o 2 soluciones reales | Fórmula cuadrática / factorización | ESO 3º-4º |
| Cúbica (3er grado) | ax³ + bx² + cx + d = 0 | 1 o 3 soluciones reales | Ruffini (pestaña «Grado 3+») / Cardano | Bachillerato |
| Racional | P(x)/Q(x) = 0 | Variable (Q(x) ≠ 0) | Mínimo común denominador | ESO 4º / Bach. |
| Irracional | √f(x) = g(x) | Variable (verificar soluciones) | Elevar al cuadrado ambos miembros | Bachillerato |
| Sistema 2×2 | ax+by=c, dx+ey=f | 0, 1 o ∞ soluciones | Sustitución / reducción / Cramer | ESO 3º-4º |
Verifica los resultados de tus ejercicios de álgebra, comprende el proceso de resolución paso a paso y detecta dónde te has equivocado antes de entregar el examen.
Resuelve ecuaciones que aparecen en problemas de circuitos eléctricos, mecánica, termodinámica y optimización donde las soluciones analíticas exactas son necesarias.
Practica la resolución de ecuaciones para pruebas de aptitud numérica, test de razonamiento lógico-matemático y exámenes de oposición que incluyen álgebra básica e intermedia.
Genera soluciones detalladas paso a paso para explicar en clase o en tutorías. Útil para crear enunciados de examen y verificar que los problemas planteados tienen solución real.
En cualquier cuadrática, calcula Δ = b²-4ac antes de nada. Si es negativo, no hay soluciones reales y ahorras tiempo de cálculo.
Para x² + bx + c = 0 (a=1), busca dos números cuya suma sea b y cuyo producto sea c. Más rápido que la fórmula para coeficientes enteros pequeños.
Suma de raíces = -b/a y producto = c/a. Comprueba esto tras resolver cualquier cuadrática. Si no coincide, hay un error de cálculo.
Los candidatos a raíces racionales son los divisores del término independiente divididos entre los del coeficiente principal. Empieza siempre por ±1.
En exámenes, la resolución paso a paso vale puntos parciales aunque el resultado final sea incorrecto. Nunca saltes pasos mentalmente.
30 segundos de verificación sustituyendo la solución en la ecuación original evitan errores graves. Especialmente crítico en irracionales y racionales.