Son 12 casos fijos, siempre los mismos y en el mismo orden: el caso 3 es idéntico para cualquiera que abra esta página, hoy y dentro de un año. Así un encargo del tipo «resuelve el 3, el 7 y el 11» significa lo mismo para toda la clase. Todos los ángulos están en grados.
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1
La razón que sale exacta
Cálculo directo
¿Cuánto vale sen 30°? Escribe el resultado como número decimal, no como fracción.
💡 En un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el cateto opuesto mide justo la mitad de la hipotenusa. Ese cociente es el seno.
SOH-CAH-TOA: sen θ = opuesto / hipotenusa. La razón solo depende del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Sustituimos el ángulo: sen 30°
La calculadora tiene que estar en GRADOS. En radianes serían 0,5236 rad, que es el número que usa por dentro.
Resultado: sen 30° = 0,5
Resultado: 0,5
2
Dos razones que coinciden
Cálculo directo
¿Cuánto vale cos 60°? Escríbelo como número decimal y fíjate en que sale lo mismo que en el caso 1.
💡 30° y 60° son ángulos complementarios (suman 90°), y el cateto opuesto a uno es el adyacente del otro: por eso cos 60° = sen 30°.
SOH-CAH-TOA: cos θ = adyacente / hipotenusa. La razón solo depende del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Sustituimos el ángulo: cos 60°
La calculadora tiene que estar en GRADOS. En radianes serían 1,0472 rad, que es el número que usa por dentro.
Resultado: cos 60° = 0,5
Resultado: 0,5
3
El triángulo de los dos catetos iguales
Cálculo directo
¿Cuánto vale tan 45°? Escribe el resultado como número decimal.
💡 Si un ángulo agudo mide 45°, el otro también, y el triángulo es isósceles: los dos catetos miden lo mismo. La tangente es su cociente.
SOH-CAH-TOA: tan θ = opuesto / adyacente. La razón solo depende del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Sustituimos el ángulo: tan 45°
La calculadora tiene que estar en GRADOS. En radianes serían 0,7854 rad, que es el número que usa por dentro.
Resultado: tan 45° = 1
Resultado: 1
4
Un cateto desde la hipotenusa
Cálculo directo
Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 m y uno de sus ángulos agudos mide 30°. ¿Cuánto mide el cateto opuesto a ese ángulo?
💡 Los lados que entran en juego son el opuesto y la hipotenusa: eso es la S de SOH, el seno.
Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y buscamos el cateto OPUESTO a ese ángulo: la razón que los relaciona es el seno (SOH).
Planteamos: sen 30° = opuesto / 10
Despejamos multiplicando: opuesto = 10 · sen 30°
sen 30° = 0,5
opuesto = 10 · 0,5 = 5
Resultado: 5 m
5
El cateto de al lado
Cálculo directo
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 20 cm y uno de los ángulos agudos, 55°. ¿Cuánto mide el cateto adyacente a ese ángulo?
💡 Adyacente e hipotenusa: la C de CAH, el coseno. El cateto adyacente es el que forma el ángulo junto a la hipotenusa.
Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y buscamos el cateto ADYACENTE (el que forma el ángulo junto a la hipotenusa): la razón es el coseno (CAH).
Planteamos: cos 55° = adyacente / 20
Despejamos multiplicando: adyacente = 20 · cos 55°
cos 55° = 0,573576
adyacente = 20 · 0,573576 = 11,4715
Resultado: 11,4715 cm
6
Dos catetos, un ángulo
Cálculo directo
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide, en grados, el ángulo opuesto al cateto de 5 cm?
💡 Cuando los datos son los dos catetos, la razón es la tangente. Para pasar de la razón al ángulo hace falta la tecla inversa (arctan, tan⁻¹).
Conocemos los DOS catetos y la incógnita es el ángulo: la razón que solo usa catetos es la tangente (TOA).
tan θ = opuesto / adyacente = 5 / 12 = 0,4167
Deshacemos la tangente con la arcotangente: θ = arctan(0,4167)
θ = 22,6199° (con la calculadora en GRADOS)
Resultado: 22,6199°
7
El ángulo desde la hipotenusa
Cálculo directo
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 17 m y uno de los catetos, 8 m. ¿Cuánto mide, en grados, el ángulo opuesto a ese cateto de 8 m?
💡 Opuesto e hipotenusa otra vez: seno. Como la incógnita es el ángulo, se deshace con el arcoseno (arcsen, sen⁻¹).
Conocemos el cateto opuesto y la hipotenusa, y la incógnita es el ÁNGULO: se calcula la razón y después se deshace con la función inversa.
sen θ = opuesto / hipotenusa = 8 / 17 = 0,4706
Deshacemos el seno con el arcoseno: θ = arcsen(0,4706)
θ = 28,0725° (con la calculadora en GRADOS; en radianes daría 0,4900)
Resultado: 28,0725°
8
Altura de un edificio
Situación real
Desde un punto del suelo situado a 50 m de la base de un edificio, la parte más alta se ve con un ángulo de elevación de 32°. Si la medición se hace a ras del suelo, ¿qué altura tiene el edificio?
💡 El suelo y el edificio forman un ángulo recto. Los datos son un cateto (la distancia) y el ángulo apoyado en él: tangente.
Conocemos un cateto y el ángulo que se apoya en él, y buscamos el OTRO cateto: cuando los dos lados en juego son los catetos, la razón es la tangente (TOA).
Planteamos: tan 32° = opuesto / 50
Despejamos multiplicando: opuesto = 50 · tan 32°
tan 32° = 0,624869
opuesto = 50 · 0,624869 = 31,2435
Resultado: 31,2435 m
9
Longitud de una rampa
Situación real
Una rampa tiene que salvar un desnivel de 0,9 m con una inclinación de 6° respecto a la horizontal. ¿Cuánto mide la superficie inclinada de la rampa?
💡 La rampa es la hipotenusa y el desnivel es el cateto opuesto al ángulo de inclinación. Aquí la incógnita queda debajo de la raya al plantear el seno.
Conocemos el cateto opuesto a un ángulo y buscamos la hipotenusa: otra vez el seno (SOH), pero ahora la incógnita está en el DENOMINADOR.
Planteamos: sen 6° = 0,9 / hipotenusa
Despejamos dividiendo: hipotenusa = 0,9 / sen 6°
sen 6° = 0,104528
hipotenusa = 0,9 / 0,104528 = 8,6101
Comprobación de sentido común: la hipotenusa tiene que salir MAYOR que el cateto del que partimos.
Resultado: 8,6101 m
10
Escalera apoyada en la pared
Situación real
Una escalera de 4 m se apoya en una pared vertical y forma un ángulo de 65° con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega su extremo superior?
💡 La escalera es la hipotenusa; la altura es el cateto opuesto al ángulo que forma con el suelo.
Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y buscamos el cateto OPUESTO a ese ángulo: la razón que los relaciona es el seno (SOH).
Planteamos: sen 65° = opuesto / 4
Despejamos multiplicando: opuesto = 4 · sen 65°
sen 65° = 0,906308
opuesto = 4 · 0,906308 = 3,6252
Resultado: 3,6252 m
11
Ancho de un río sin cruzarlo
Situación real
Para medir el ancho de un río se marca un punto A en una orilla, justo enfrente de un árbol B de la orilla opuesta. Se camina 40 m por la orilla en línea recta y perpendicular a AB hasta un punto C, desde el que el árbol se ve formando 58° con la orilla. ¿Cuántos metros mide el ancho AB del río?
💡 AB y AC son los dos catetos: el ancho del río y el tramo recorrido por la orilla. Dos catetos y un ángulo conocido: tangente.
Conocemos un cateto y el ángulo que se apoya en él, y buscamos el OTRO cateto: cuando los dos lados en juego son los catetos, la razón es la tangente (TOA).
Planteamos: tan 58° = opuesto / 40
Despejamos multiplicando: opuesto = 40 · tan 58°
tan 58° = 1,600335
opuesto = 40 · 1,600335 = 64,0134
Resultado: 64,0134 m
12
Inclinación de un tejado
Situación real
Un tejado a dos aguas sube 2,8 m desde el borde hasta la cumbrera, recorriendo 6 m en horizontal. ¿Qué ángulo de inclinación, en grados, tiene ese faldón del tejado?
💡 La subida es el cateto opuesto y el avance horizontal, el adyacente: arcotangente del cociente entre los dos.
Conocemos los DOS catetos y la incógnita es el ángulo: la razón que solo usa catetos es la tangente (TOA).
tan θ = opuesto / adyacente = 2,8 / 6 = 0,4667
Deshacemos la tangente con la arcotangente: θ = arctan(0,4667)
θ = 25,0169° (con la calculadora en GRADOS)
Resultado: 25,0169°
Práctica sin final
Cuando los 12 casos se queden cortos, este botón inventa uno nuevo cada vez, con números distintos y con la solución explicada igual que los demás.
📚Aprende Trigonometría: Funciones, Identidades y Aplicaciones
Desde SOH-CAH-TOA hasta el círculo unitario: todo lo que necesitas para dominar la trigonometría
📊 Las 6 Funciones Trigonométricas
Función
Triángulo rectángulo
Círculo unitario
Dominio
Rango
0°
30°
45°
60°
90°
sin(θ)
opuesto / hipotenusa
coordenada y del punto
ℝ (todos)
[-1, 1]
0
1/2 = 0,5
√2/2 ≈ 0,707
√3/2 ≈ 0,866
1
cos(θ)
adyacente / hipotenusa
coordenada x del punto
ℝ (todos)
[-1, 1]
1
√3/2 ≈ 0,866
√2/2 ≈ 0,707
1/2 = 0,5
0
tan(θ)
opuesto / adyacente
sin(θ) / cos(θ)
θ ≠ 90°+n·180°
ℝ (todos)
0
1/√3 ≈ 0,577
1
√3 ≈ 1,732
∞
csc(θ)
hipotenusa / opuesto
1 / sin(θ)
θ ≠ n·180°
(-∞,-1] ∪ [1,∞)
∞
2
√2 ≈ 1,414
2√3/3 ≈ 1,155
1
sec(θ)
hipotenusa / adyacente
1 / cos(θ)
θ ≠ 90°+n·180°
(-∞,-1] ∪ [1,∞)
1
2√3/3 ≈ 1,155
√2 ≈ 1,414
2
∞
cot(θ)
adyacente / opuesto
cos(θ) / sin(θ)
θ ≠ n·180°
ℝ (todos)
∞
√3 ≈ 1,732
1
1/√3 ≈ 0,577
0
👥 ¿Quién usa esta calculadora?
🎓
Estudiante de Bachillerato
Matemáticas II, Física
Resuelve triángulos rectángulos con SOH-CAH-TOA: si conoces un cateto de 5 m y el ángulo de 30°, calculas la hipotenusa con 5/sin(30°) = 10 m. Comprueba ejercicios de examen y domina las conversiones grados/radianes.
Truco: usa la secuencia √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 para sin(0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
🏛️
Arquitecto
Inclinaciones de tejados y rampas
Calcula inclinaciones de tejados: un tejado con pendiente 30° sube 1 por cada 1,732 de avance (tan(30°) = 1/√3). Las normas de edificación suelen dar la pendiente en tanto por ciento, no en grados: en España, una rampa de itinerario accesible con un tramo de 6 m en planta admite como máximo un 6 % (CTE DB SUA 1, apdo. 4.3.1), así que salva 6 × 0,06 = 0,36 m, un ángulo de arctan(0,06) ≈ 3,43°.
No confundas % con grados: una pendiente del 8 % son unos 4,57°, y 8° equivalen a un 14,05 %
⛵
Navegante
Distancias y triangulación GPS
Aplica la ley del seno para triangulación: con dos puntos conocidos A y B separados 10 km y los ángulos hacia el objetivo (62° y 71°), calcula la distancia exacta. El tercer ángulo es 180°-62°-71° = 47°, y por ley del seno: distancia = 10×sin(62°)/sin(47°) ≈ 12,1 km.
Ley del seno: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
GPS moderno usa triangulación con 4+ satélites, el mismo principio trigonométrico en 3D
📡
Ingeniero de Señales
Análisis de señales periódicas
La corriente alterna sigue A·sin(2πft + φ): una señal de 50 Hz con amplitud 230 V y fase inicial 0 tiene valor 230·sin(2π·50·t). Con identidades de suma se analiza interferencia: dos señales con desfase de 90° se combinan como sin(θ) + cos(θ) = √2·sin(θ + 45°).
Señal CA: v(t) = 230·sin(2π·50·t) voltios
La Transformada de Fourier descompone cualquier señal en sumas de senos y cosenos
❓ Preguntas Frecuentes sobre Trigonometría
¿Cuándo usar seno vs coseno vs tangente?
Depende de qué datos tienes y qué buscas en el triángulo rectángulo: usa seno cuando conoces la hipotenusa y buscas el lado opuesto (o viceversa). Usa coseno para la relación entre hipotenusa y lado adyacente. Usa tangente cuando trabajas con los dos catetos sin necesitar la hipotenusa. En física, las componentes de un vector de módulo F y ángulo θ son: Fx = F·cos(θ) y Fy = F·sin(θ).
Es un círculo de radio 1 centrado en el origen de coordenadas. Para cualquier ángulo θ, el punto de la circunferencia es exactamente (cos θ, sin θ). Esto permite definir las funciones trigonométricas para CUALQUIER ángulo, no solo los agudos de 0° a 90°. Explica por qué sin(120°) = sin(60°) = √3/2, los signos en cada cuadrante (I: todo+, II: sin+, III: tan+, IV: cos+), y la periodicidad de las funciones.
¿Diferencia entre grados y radianes?
Los grados dividen el círculo en 360 partes iguales (convención histórica). Los radianes miden el ángulo como la longitud de arco en el círculo unitario: 360° = 2π rad ≈ 6,283 rad. Para convertir: radianes = grados × π/180. Los radianes son más “naturales” en matemáticas: la derivada de sin(x) en radianes es cos(x) directamente; en grados aparecería un factor (π/180) que complica todo. Ángulos clave: 30° = π/6 rad, 45° = π/4 rad, 60° = π/3 rad, 90° = π/2 rad.
¿Cómo memorizar los valores exactos de 30°, 45° y 60°?
Usa dos triángulos especiales: el 30-60-90 (lados 1, √3, 2) y el 45-45-90 (lados 1, 1, √2). Para el seno, aplica la secuencia √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 para los ángulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: sin(0°)=0, sin(30°)=0,5, sin(45°)=√2/2≈0,707, sin(60°)=√3/2≈0,866, sin(90°)=1. Para el coseno, la secuencia está invertida: cos(0°)=1, cos(30°)≈0,866, cos(60°)=0,5. Para la tangente: tan(30°)=1/√3≈0,577, tan(45°)=1, tan(60°)=√3≈1,732.
¿Qué es arcsen/arccos/arctan y cuándo se usan?
Son las funciones inversas: si sin(θ)=0,5, entonces arcsin(0,5)=30°. Se usan cuando conoces el valor de la razón trigonométrica y necesitas encontrar el ángulo. Rangos de retorno: arcsin devuelve [-90°, 90°], arccos devuelve [0°, 180°], arctan devuelve (-90°, 90°). Atención: arctan(y/x) puede dar el ángulo en el cuadrante incorrecto; usa atan2(y,x) en programación para obtener el cuadrante correcto.
¿Cómo resolver triángulos no rectángulos (ley del seno y coseno)?
Para triángulos oblicuángulos (sin ángulo de 90°) necesitas leyes generales: - Ley del seno: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Úsala cuando tienes un par ángulo-lado y otro dato (caso ALA o AAL). - Ley del coseno: c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Úsala cuando tienes tres lados (LLL) o dos lados y el ángulo entre ellos (LAL). Es una generalización del Teorema de Pitágoras.
Si el ángulo C=90°, la ley del coseno se reduce a c²=a²+b² (Pitágoras)
¿Para qué sirve la trigonometría en física?
La trigonometría es omnipresente en física: Mecánica: descomposición de fuerzas en componentes (Fx=F·cos θ, Fy=F·sin θ), plano inclinado (fuerza paralela = mg·sin θ). Ondas: una onda sinusoidal es y(t) = A·sin(2πft + φ), donde A es amplitud, f frecuencia y φ fase. Electricidad: la corriente alterna sigue v(t) = 230·sin(2π·50·t) en España (50 Hz). Óptica: la ley de Snell n₁·sin(θ₁) = n₂·sin(θ₂) describe la refracción de la luz.
¿Qué son las identidades trigonométricas fundamentales?
Las identidades son igualdades que se cumplen para cualquier ángulo: - Pitagórica: sin²θ + cos²θ = 1 (la más importante, es Pitágoras en el círculo unitario) - Cociente: tan θ = sin θ / cos θ - Ángulo doble: sin(2θ) = 2·sin θ·cos θ; cos(2θ) = cos²θ - sin²θ - Suma de ángulos: sin(A+B) = sin A·cos B + cos A·sin B - Recíprocas: csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ
🗺️ Cómo resolver cualquier triángulo: 7 pasos
1
Identifica los datos conocidos
Anota qué tienes: lados (a, b, c) y/o ángulos (A, B, C). Para un triángulo rectángulo necesitas al menos 2 datos (un lado + un ángulo, o dos lados). Para un triángulo oblicuángulo necesitas 3 datos que incluyan al menos un lado.
2
Dibuja y etiqueta el triángulo
Dibuja el triángulo con todos los datos anotados. En triángulo rectángulo, marca el ángulo recto (90°) con un cuadradito. La hipotenusa es SIEMPRE el lado más largo, opuesto al ángulo de 90°. Los otros dos son catetos.
3
¿Es rectángulo u oblicuángulo?
Si tiene un ángulo de 90°, usa SOH-CAH-TOA directamente. Si no tiene ningún ángulo de 90° (oblicuángulo), decide qué ley aplicar: Ley del seno si tienes ángulo-lado-ángulo (ALA) o ángulo-ángulo-lado (AAL). Ley del coseno si tienes lado-ángulo-lado (LAL) o tres lados (LLL).
4
Elige el ángulo de referencia θ
En triángulos rectángulos, el cateto “opuesto” y “adyacente” dependen de cuál ángulo eliges como θ. Elige el ángulo que conozcas o el que quieras calcular. El ángulo complementario es siempre (90° - θ), ya que los tres suman 180°.
5
Aplica la fórmula adecuada
Triángulo rectángulo: sin(θ)=O/H, cos(θ)=A/H, tan(θ)=O/A. Despeja la incógnita antes de sustituir números. Ley del seno: a/sin(A) = b/sin(B). Ley del coseno: c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Usa la calculadora con la unidad correcta (grados o radianes).
6
Calcula el lado o ángulo desconocido
Si buscas un lado: multiplica o divide directamente (ej: cateto = hipotenusa × sin(θ)). Si buscas un ángulo: usa la función inversa (arcsin, arccos o arctan). Ejemplo: si sin(θ)=0,5 → θ = arcsin(0,5) = 30°.
7
Verifica el resultado con 3 comprobaciones
1) Suma de ángulos = 180° (obligatorio en todo triángulo). 2) En triángulo rectángulo: a² + b² = c² (Pitágoras). La hipotenusa debe ser el lado más largo. 3) Coherencia del resultado: un ángulo no puede ser mayor de 180°, un lado no puede ser negativo. Si algo no cuadra, busca el error desde el paso 1.
💡 Mejores Prácticas
✏️
Dibuja siempre el triángulo
Aunque el enunciado sea sencillo, un boceto evita confundir “opuesto” con “adyacente”. Etiqueta los tres vértices (A, B, C) y los tres lados (a, b, c) donde a es el lado opuesto al ángulo A.
🔢
Verifica que los ángulos suman 180°
En cualquier triángulo plano, A + B + C = 180°. Si al final tu suma no da exactamente 180°, hay un error en algún cálculo. Esta comprobación es gratuita y elimina la mayoría de errores.
⚖️
Ley del seno para caso ALA o AAL
Cuando tienes un ángulo y su lado opuesto conocidos, más cualquier otro dato, la ley del seno es la más directa: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Úsala también para verificar un resultado calculado por otro método.
📐
Domina SOHCAHTOA de memoria
SOH: Seno = Opuesto / Hipotenusa. CAH: Coseno = Adyacente / Hipotenusa. TOA: Tangente = Opuesto / Adyacente. Con esta regla puedes escribir las 3 fórmulas principales en 5 segundos, incluso en un examen bajo presión.
🎯
Memoriza los ángulos notables con los triángulos especiales
Triángulo 30-60-90 (lados 1, √3, 2): extrae sin/cos/tan de 30° y 60°. Triángulo 45-45-90 (lados 1, 1, √2): extrae los valores de 45°. Con solo estos dos triángulos, puedes calcular los 5 ángulos notables sin memorizar tablas.
🔄
Recíprocas: calcula primero sin/cos/tan
Si necesitas csc, sec o cot y no las recuerdas, calcula primero su función base y luego haz el inverso: csc(θ) = 1/sin(θ), sec(θ) = 1/cos(θ), cot(θ) = 1/tan(θ). Ejemplo: csc(30°) = 1/sin(30°) = 1/0,5 = 2.
⚠️Errores Típicos que Debes Evitar
Grados vs radianes en la calculadora: tan(90°) = ∞, pero tan(90) en radianes ≈ -1,995. Antes de cada cálculo, comprueba que tu calculadora está en el modo correcto. Este es el error más frecuente en exámenes.
Usar SOH-CAH-TOA en triángulos no rectángulos: sin(A)/a = sin(B)/b solo funciona con la ley del seno. En triángulos oblicuángulos, SOH-CAH-TOA da resultados incorrectos porque no hay hipotenusa ni ángulo recto de referencia.
arctan devuelve el ángulo en el cuadrante incorrecto: arctan(y/x) solo devuelve resultados en (-90°, 90°). Si el punto está en el II o III cuadrante (x negativa), debes sumar 180°. En programación, usa atan2(y, x) para obtener el ángulo correcto.
Redondear en pasos intermedios: Si calculas sin(30°) = 0,5 y luego lo redondeas a 0,50 antes de multiplicar, el error se acumula. Guarda todos los decimales hasta el resultado final y redondea solo ahí.
sin(A+B) ≠ sin(A) + sin(B): Error algebraico muy común. La fórmula correcta es sin(A+B) = sin(A)·cos(B) + cos(A)·sin(B). Del mismo modo, cos(A+B) = cos(A)·cos(B) - sin(A)·sin(B).
Confundir cuál es la hipotenusa: La hipotenusa es SIEMPRE el lado más largo, opuesto al ángulo recto de 90°. Si etiquetas mal la hipotenusa, todas las razones SOH-CAH-TOA quedan invertidas y el resultado es erróneo.
📖 Conceptos Fundamentales
La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Es fundamental en física, ingeniería, navegación, astronomía y gráficos por computadora.
Funciones Básicas (SOH-CAH-TOA)
sin(θ) = opuesto/hipotenusa, cos(θ) = adyacente/hipotenusa, tan(θ) = opuesto/adyacente. Son la base de toda la trigonometría aplicada.
El Círculo Unitario
Un círculo de radio 1 donde cualquier punto (x,y) = (cos θ, sin θ). Permite extender las funciones a ángulos mayores de 90° y negativos.