Las dos fórmulas se parecen tanto que acaban mezclándose: el (n − 1) de la aritmética se cuela como exponente n en la geométrica y al revés.
Empieza moviendo el deslizador de la diferencia hasta ponerla negativa y mira qué le pasa a la recta. Después haz lo mismo con la razón entre 0 y 1. Ver el efecto fija la fórmula mejor que repetirla.
Explicar por qué una geométrica «despega» exige dibujar dos series a la vez, y hacerlo en la pizarra come media clase.
La pestaña Geométrica dibuja siempre, junto a la curva, la aritmética que empieza igual y da el mismo primer salto. La separación entre las dos se ve a partir del tercer término.
Un ahorro que crece un porcentaje fijo cada año no es una suma repetida: es una progresión geométrica de razón 1 + porcentaje.
El caso 12 pone lado a lado una subida fija y una porcentual sobre la misma cantidad inicial. La segunda empieza por detrás y acaba delante: es el mecanismo entero.
En las pruebas de acceso las progresiones casi nunca vienen solas: aparecen dentro de un problema de porcentajes, de crecimiento o de sumas de series.
Los casos 8, 9 y 11 son los tres disfraces más frecuentes: crecimiento porcentual, duplicación por periodos y suma infinita de una serie decreciente.
¿Cómo sé si una sucesión es aritmética o geométrica?
Se hacen las dos comprobaciones, en este orden. Primero se restan los términos seguidos: si todas las restas dan lo mismo, es aritmética y ese valor es d. Si no, se dividen: si todas las divisiones dan lo mismo, es geométrica y ese valor es r. Si no ocurre ni una cosa ni la otra, no es ninguna de las dos, y eso es perfectamente normal.
La pestaña Identificar hace las dos comprobaciones a la vez y enseña la tabla completa de restas y divisiones, aunque el veredicto sea negativo.
¿Por qué el término general lleva n − 1 y no n?
Porque los saltos se cuentan entre términos, no sobre los términos. Para ir del primero al quinto se dan cuatro saltos: a₅ = a₁ + 4d en la aritmética y a₅ = a₁·r⁴ en la geométrica. Usar n en lugar de n − 1 da siempre un término de más, y es el error más frecuente en los dos casos.
Truco de comprobación: sustituye n = 1 en tu fórmula. Tiene que salir exactamente a₁; si no, el exponente o el paréntesis están mal.
¿Qué pasa con la fórmula de la suma geométrica cuando r = 1?
Que no se puede usar: su denominador es r − 1, que valdría 0, y no se puede dividir entre cero. Con r = 1 todos los términos son iguales a a₁, así que la suma es simplemente n·a₁. Es un caso aparte, no una excepción rara: aparece en cuanto una magnitud «crece un 0 %».
En la pestaña Geométrica, pon la razón exactamente en 1 y verás que el simulador cambia de fórmula y explica por qué.
¿Cómo puede tener suma una lista infinita de números?
Solo si los términos se hacen cada vez más pequeños lo bastante deprisa, que en una geométrica ocurre exactamente cuando |r| < 1. Entonces las sumas parciales se van acercando a un valor concreto sin llegar a superarlo nunca, y ese valor es S = a₁/(1 − r). Con 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … la suma se acerca a 2 por muchos términos que se añadan.
Si |r| ≥ 1 la serie diverge: no es que la suma sea «muy grande», es que no existe ningún número que sea esa suma.
¿Puede una progresión ser decreciente?
Sí, de dos maneras distintas. Una aritmética decrece cuando su diferencia es negativa (100, 94, 88, 82…) y puede pasar de sobra al terreno negativo. Una geométrica decrece en valor absoluto cuando |r| < 1 (80, 40, 20, 10…), pero si es positiva nunca llega a cero: se le acerca indefinidamente.
Con r negativa pasa otra cosa distinta: los términos alternan de signo, así que ni crece ni decrece, va rebotando.
¿Qué relación tienen con el interés compuesto?
Es exactamente el mismo objeto. Un capital que crece un porcentaje p cada periodo forma una progresión geométrica de razón r = 1 + p/100: un 5 % anual es multiplicar por 1,05 cada año. Por eso el interés compuesto se dispara con el tiempo mientras un ahorro de cantidad fija —una aritmética— crece siempre al mismo ritmo.
Sumar el 5 % diez veces no es lo mismo que multiplicar diez veces por 1,05: la diferencia entre las dos cosas es justo la diferencia entre las dos familias.
Si una sucesión crece siempre, ¿ya es una progresión?
No. Los cuadrados 1, 4, 9, 16, 25 crecen sin parar y no son ni aritméticos —sus diferencias son 3, 5, 7, 9— ni geométricos —sus cocientes son 4; 2,25; 1,78—. La sucesión de Fibonacci tampoco lo es. Crecer no basta: hace falta crecer siempre de la misma manera.
En los cuadrados, las diferencias de las diferencias sí son constantes (valen 2). Eso los convierte en una sucesión de segundo orden, que es otra familia distinta.
¿Cómo se calcula la suma sin escribir todos los términos?
Con la fórmula que corresponda. En una aritmética, Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, que sale de emparejar el primero con el último: todas las parejas suman lo mismo. En una geométrica, Sₙ = a₁·(rⁿ − 1)/(r − 1). Sumar del 1 al 100 son 5.050 y se resuelve en una línea, sin escribir cien números.
Ojo al exponente: en el término general de la geométrica es n − 1, pero en la fórmula de la suma es n. No es una errata.
🔢Numera desde a₁No existe el término 0. Todo el (n − 1) de las fórmulas depende de que la numeración empiece en 1: si cambias el convenio, cambian las fórmulas.
✏️Escribe el término general antes de calcularDejar por escrito aₙ con los números puestos convierte cualquier pregunta posterior en una sustitución, por grande que sea el índice.
📊Dibuja cuatro puntosUn croquis con los primeros términos distingue de un vistazo lo lineal de lo exponencial, y delata al instante una sucesión que no es progresión.
💯Convierte los porcentajes en razónCrecer un 5 % es multiplicar por 1,05; bajar un 5 %, por 0,95. Trabajar con la razón evita arrastrar porcentajes sobre porcentajes.
🎯Redondea solo al finalLas potencias amplifican el redondeo: recortar decimales en r antes de elevarla desvía el resultado mucho más de lo que parece.
🔍Verifica con la propia sucesiónCuando termines, calcula con tu fórmula un término que ya conozcas. Es la comprobación más barata y detecta casi todos los errores de índice.