Una sola idea detrás de todo: la potencia
Casi todos los problemas de tangencias de Dibujo Técnico se resuelven con el mismo número. Si desde un punto P trazas cualquier recta que corte a una circunferencia en A y B, el producto PA · PB no depende de la recta elegida: siempre vale d² − r², donde d es la distancia de P al centro y r el radio. A ese número se le llama potencia de P.
Si P está fuera, la recta puede girar hasta tocar a la circunferencia en un solo punto T, y entonces PA y PB son el mismo segmento: PT² = potencia. Por eso la potencia es «la tangente al cuadrado», y por eso medir potencias equivale a medir tangentes. El eje radical es el lugar de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias, y el centro radical, el punto con igual potencia respecto de tres.
Tabla comparativa: dos circunferencias según su posición
d es la distancia entre centros; R y r, los radios (R ≥ r)| Posición | Condición | Tangentes comunes | Eje radical |
|---|
| Exteriores | d > R + r | 4 (2 exteriores y 2 interiores) | Por el método de la auxiliar |
| Tangentes exteriores | d = R + r | 3 (las interiores se funden en una) | La tangente común en el punto de contacto |
| Secantes | R − r < d < R + r | 2 (solo exteriores) | La recta que une los dos puntos de corte |
| Tangentes interiores | d = R − r | 1 | La tangente común en el punto de contacto |
| Una dentro de otra | d < R − r | 0 | Por el método de la auxiliar (queda fuera de las dos) |
| Concéntricas | d = 0 | 0 | No existe |
Casos de uso
Estudiante de bachillerato o preparatoria
Antes de trazar en papel, ve la construcción entera y luego paso a paso. Mover un dato y ver que la solución sigue funcionando es lo que convierte una receta memorizada en algo entendido.
Docente de Dibujo Técnico o Matemáticas
Proyecta una construcción y avanza paso a paso en clase. Después, manda los casos numerados: son iguales para todo el grupo y corrigen solos.
Primeros cursos de arquitectura o ingeniería
Repasa la geometría plana que dan por sabida la geometría descriptiva y el diseño asistido: el eje radical y las tangencias reaparecen en enlaces, perfiles y trazados.
Mecánica, maquetismo y taller
Una correa entre dos poleas es una tangente común: la abierta es exterior y la cruzada, interior. El tramo recto sale de la distancia entre ejes y los radios.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la potencia de un punto respecto de una circunferencia?
Es el número d² − r², donde d es la distancia del punto al centro y r el radio. Es positiva si el punto está fuera, cero si está sobre la circunferencia y negativa si está dentro. Su propiedad clave es que, para cualquier recta que pase por el punto y corte a la circunferencia en A y B, el producto PA · PB vale siempre lo mismo: la potencia.
¿Qué relación hay entre la potencia y la longitud de la tangente?
Desde un punto exterior, el cuadrado del segmento de tangencia es exactamente la potencia: PT² = d² − r². Sale de Pitágoras, porque el radio es perpendicular a la tangente en el punto de contacto. Por ejemplo, a 13 cm del centro de una circunferencia de 5 cm de radio la tangente mide √(169 − 25) = 12 cm.
¿Qué es el eje radical y cómo se traza?
Es el lugar de los puntos que tienen la misma potencia respecto de dos circunferencias, y siempre es una recta perpendicular a la línea de centros. Si las circunferencias se cortan, es la recta que une los puntos de corte. Si no, se traza una circunferencia auxiliar que corte a las dos: sus dos cuerdas comunes se cortan en un punto del eje, y por él se traza la perpendicular a la línea de centros.
¿Para qué sirve el centro radical?
El centro radical es el punto donde se cortan los tres ejes radicales de tres circunferencias, y tiene la misma potencia respecto de las tres. Es la herramienta que resuelve los problemas de tangencias de Apolonio: en el caso de una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta, el centro radical es el corte de la recta AB con la recta dada.
¿Cómo se trazan las tangentes comunes a dos circunferencias?
Se reduce el problema a trazar tangentes desde un punto. Para las exteriores se dibuja una circunferencia auxiliar concéntrica con la mayor y radio la diferencia de radios; para las interiores, con radio la suma. Las tangentes desde el centro de la menor a esa auxiliar dan la dirección de los radios de contacto. Dos circunferencias exteriores tienen 4 tangentes comunes; si se cortan, solo 2.
¿Cómo se construye una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta?
Es el caso PPR de Apolonio. La recta AB corta a la recta r en M, que tiene la misma potencia MA · MB respecto de todas las circunferencias que pasan por A y B. Por eso el punto de tangencia T cumple MT² = MA · MB: se halla la media proporcional MT y se lleva sobre r a los dos lados de M. Hay dos soluciones, cuyos centros están en la mediatriz de AB.
¿En qué curso se estudian las tangencias y la potencia?
Las tangencias básicas (rectas tangentes y enlaces) aparecen en la educación secundaria, en asignaturas de dibujo o educación plástica. La potencia, el eje radical y los problemas de Apolonio son temario de Dibujo Técnico de bachillerato o preparatoria, y de geometría descriptiva en los primeros cursos de arquitectura e ingeniería.
¿Puedo usarlo con mi clase?
Sí. La pestaña de casos tiene 12 ejercicios numerados que son iguales para todo el mundo, así que se puede mandar resolver «los casos 3, 8 y 12». Cada uno corrige la respuesta, nombra los errores típicos (dar la potencia en lugar de su raíz, medir el eje desde el otro centro) y muestra la solución razonada. Hay además un modo práctica con ejercicios aleatorios.
Guía paso a paso
1Elige la construcción
Cada pestaña es un problema: potencia, eje radical, tangentes desde un punto, tangentes comunes o circunferencias tangentes.
2Coloca los datos
Arrastra centros y puntos y ajusta los radios. Con la cuadrícula activada los puntos caen en múltiplos de 0,5 cm, como en un ejercicio con medidas.
3Recorre los pasos
Pulsa «Empezar desde el paso 1» y avanza con «Siguiente». El paso actual se resalta en el dibujo y su explicación dice por qué funciona.
4Rompe la construcción
Mete el punto dentro de la circunferencia, junta los centros o pon A y B a cada lado de la recta: el aviso explica por qué deja de haber solución.
5Lee las medidas
El panel da la potencia, las tangentes y los radios con dos decimales para que puedas comprobar tu trazado en papel.
6Haz los casos
En «Casos para clase» resuelve los 12 ejercicios numerados o pide uno aleatorio para practicar.
Mejores prácticas
📐Busca siempre la potencia
Ante una tangencia nueva, pregúntate qué punto tiene la misma potencia respecto de todo lo que interviene: suele ser el corte de dos ejes radicales.
🧭Afina la mediatriz
Casi todas las construcciones empiezan por un punto medio. Un error de un milímetro ahí desplaza los puntos de tangencia mucho más.
✏️Señala los puntos de tangencia
En un examen de Dibujo Técnico un enlace sin su punto de tangencia marcado suele contar como incompleto, aunque se vea bien.
🔁Comprueba con la otra solución
Muchos problemas tienen dos soluciones simétricas. Si solo encuentras una, revisa si te has dejado la del otro lado.
📏Usa la medida para verificar
Calcula la tangente con √(d² − r²) y compárala con lo que mide tu trazado: si no coinciden, el error está en el dibujo.
- Dar la potencia cuando se pide la tangente: la potencia es el cuadrado, la tangente es su raíz.
- Olvidar el signo: dentro de la circunferencia la potencia es negativa, y PA · PB también, porque P separa a A de B.
- Confundir las familias de tangentes comunes: las exteriores usan la DIFERENCIA de radios y las interiores la SUMA.
- Trazar el eje radical por el punto medio de los centros: solo pasa por ahí si los radios son iguales.
- Tomar como tangente una recta que solo «parece» tocar: el radio al punto de contacto tiene que ser perpendicular a ella.
- En el caso de dos puntos y una recta, buscar una única solución: casi siempre hay dos, una a cada lado de M.