Historia: del mosquito a la pandemia
El primero en aplicar matemáticas a la propagación de enfermedades fue Ronald Ross en 1911, modelizando la malaria y el ciclo mosquito-humano. Su trabajo demostró que no hacía falta eliminar todos los mosquitos — bastaba reducirlos por debajo de un umbral crítico.
En 1927, Kermack y McKendrick publicaron el modelo SIR en sus "Contribuciones a la teoría matemática de las epidemias", derivando la condición R₀ > 1 como umbral de epidemia. Este marco sigue siendo la base de toda la epidemiología matemática moderna.
Las ecuaciones del modelo SIR
El modelo SIR se describe mediante tres ecuaciones diferenciales ordinarias:
- dS/dt = −βSI/N: los susceptibles se infectan al contactar con infectados
- dI/dt = βSI/N − γI: los infectados aumentan por contagio y disminuyen al recuperarse
- dR/dt = γI: los recuperados acumulan inmunidad
La suma S + I + R = N se conserva siempre. La condición de epidemia surge de analizar cuándo dI/dt > 0 al inicio: esto requiere que β/γ > N/S₀ ≈ 1, es decir, R₀ > 1.
R₀ vs Rₜ: la distinción crucial
R₀ (número reproductivo básico) es el número medio de contagios secundarios por un infectado en una población completamente susceptible. Es una propiedad intrínseca de la enfermedad y el contexto social, no cambia durante la epidemia.
Rₜ (número reproductivo efectivo) mide lo mismo pero en el contexto real: Rₜ = R₀ × S(t)/N. Cae conforme crece la inmunidad. Cuando Rₜ < 1 el brote decrece, aunque R₀ siga siendo mayor que 1. El cruce de Rₜ = 1 coincide exactamente con el pico de infectados.
El umbral de inmunidad colectiva
La epidemia se extingue cuando S(t)/N cae por debajo de 1/R₀ — es decir, cuando al menos (1 − 1/R₀) × 100% de la población es inmune. Para sarampión (R₀≈15) se necesita el 93%; para gripe estacional (R₀≈1.3) basta el 23%. Este umbral puede alcanzarse por infección natural o por vacunación — pero la infección natural conlleva el coste de la mortalidad.
Limitaciones del modelo SIR
El modelo SIR asume mezcla homogénea perfecta (todos tienen igual probabilidad de contacto), ausencia de estructura de edad, geografía o redes sociales, parámetros β y γ constantes en el tiempo, y una sola cepa sin mutaciones. En la práctica, ninguna epidemia real cumple estas condiciones. Las extensiones modernas incluyen:
- SIRS: la inmunidad es temporal (posibilidad de reinfección)
- Modelos en red: cada persona tiene sus propios contactos (grafos)
- Modelos por edad: β varía entre grupos de edad
- Modelos estocásticos: incorporan aleatoriedad (importantes cuando I es pequeño)
- Modelos geoespaciales: propagación entre poblaciones conectadas
COVID-19 y el Informe del Imperial College
En marzo de 2020, el equipo de Neil Ferguson en el Imperial College London publicó un modelo SEIR extendido que proyectaba hasta 510.000 muertes en el Reino Unido sin intervención. Este informe influyó directamente en las decisiones de confinamiento de varios gobiernos. La controversia posterior — sobre si el modelo sobreestimó la mortalidad — ilustra perfectamente las limitaciones de estos modelos cuando se extrapolan a contextos reales con intervenciones cambiantes.
Sobre la interpretación de estos modelos: Los modelos SIR/SEIR son simplificaciones matemáticas que ayudan a entender la dinámica de las epidemias, no a predecirlas con exactitud. Los parámetros β y γ cambian con el tiempo, las variantes virales, las intervenciones sociales y el comportamiento humano. R₀ no es una constante biológica — varía según el contexto cultural, la densidad de población y las medidas de prevención. Ningún modelo epidemiológico predice el futuro; todos sirven para comprender el presente y explorar escenarios hipotéticos.