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Sierpinski, Koch, Mandelbrot — la complejidad infinita de las reglas simples
Figuras con autosimilitud infinita
Un fractal es una figura geométrica con autosimilitud: se repite a sí misma a diferentes escalas. Si amplías una parte, encuentras el mismo patrón. El término lo acuñó Benoît Mandelbrot en 1975, del latín fractus (roto, irregular).
Dimensión fractal: una línea es 1D, un plano es 2D. El triángulo de Sierpinski tiene dimensión ~1,585(log 3 / log 2). Esto significa que es “más que una línea pero menos que un plano”. Es una medida de lo intrincado que es el patrón al hacer zoom.
Preguntas frecuentes y curiosidades
Matemáticamente, sí: un fractal “verdadero” tiene infinitas iteraciones y detalle a toda escala. En la práctica (y en este visualizador), las iteraciones están limitadas porque cada paso multiplica exponencialmente el número de elementos a calcular.
Sí, y posiblemente el más famoso. Su frontera tiene dimensión fractal 2 y muestra autosimilitud: al hacer zoom en los bordes, aparecen copias en miniatura del conjunto completo. Sin embargo, no es “estrictamente autosimilar” como Sierpinski — cada copia es ligeramente diferente.
Los L-systems (Lindenmayer, 1968) son gramáticas formales que generan fractales mediante reglas de reescritura. Por ejemplo, la curva de Hilbert se genera con solo dos reglas y tres símbolos. Son ampliamente usados para modelar el crecimiento de plantas en gráficos por computador.
Las costas son “casi fractales”: muestran autosimilitud estadística en un rango amplio de escalas (desde km hasta metros), pero a escala atómica la autosimilitud se rompe. Los matemáticos las llaman pre-fractales.