Parámetros del péndulo
Animación
T = 4 · √(L / g) · K(sen(θ₀/2))
Período exacto para cualquier amplitud, con K la integral elíptica completa de primera especie. Con θ₀ → 0 tiende a 2π√(L/g).
Con rozamiento (γ > 0) la amplitud decae y cada oscilación dura algo distinto: la cifra es la de la primera, integrada numéricamente.
Resultados — Péndulo 1
Energía mecánica (péndulo 1)
θ(t) — posición angular en el tiempo
Guía del Péndulo Simple
Movimiento armónico simple y oscilaciones
Fórmulas del MAS y Péndulo Simple
| Magnitud | Fórmula | Significado |
|---|---|---|
| Período T | T = 2π · √(L / g) | Tiempo de una oscilación completa. No depende de la masa ni del ángulo (en pequeños ángulos). |
| Frecuencia f | f = 1 / T | Número de oscilaciones por segundo (Hz). |
| Frecuencia angular ω | ω = 2π·f | Pulsación de la oscilación, en rad/s. Sin rozamiento y a pequeños ángulos vale ω₀ = √(g / L), la pulsación natural; con rozamiento baja a √(ω₀² − γ²/4). |
| Posición angular | θ(t) = θ₀ · cos(ω·t) | Solución armónica para pequeños ángulos sin amortiguar. |
| Energía cinética | E_c = ½ · m · v² = ½ · m · L² · (dθ/dt)² | Máxima al pasar por la vertical (θ = 0). |
| Energía potencial | E_p = m · g · L · (1 − cos θ) | Máxima en los extremos del recorrido. |
| Ecuación de movimiento | d²θ/dt² + (g/L)·sin θ = 0 | No lineal. Para |θ| pequeño, sin θ ≈ θ y se simplifica al MAS. |
| Corrección grandes ángulos | T_real ≈ T · (1 + θ₀²/16) | Aproximación de segundo orden cuando θ₀ > 15°. |
Casos de Uso Reales
Estudiante de física de secundaria
Visualiza por qué la masa no aparece en T, comprueba que duplicar L no duplica el período (factor √2) y experimenta con la gravedad lunar.
Universitario de ingeniería
Compara la solución cerrada del MAS con la integración numérica del péndulo no lineal. Observa la deriva del período en grandes ángulos.
Aficionado a la relojería
Calcula la longitud necesaria para un péndulo de segundos (T = 2 s en la Tierra ≈ 99,4 cm). Ajusta la amortiguación para entender el escape mecánico.
Profesor de secundaria
Lanza la simulación en clase, varía un solo parámetro a la vez y pide a los alumnos predecir el efecto sobre T y la energía.
Preguntas Frecuentes
La aceleración angular d²θ/dt² = −(g/L)·sin θ no contiene la masa: la inercia rotacional (mL²) se cancela con el peso (mg) en el par.
Por eso un péndulo de 1 kg y otro de 100 g con la misma L oscilan al mismo ritmo.
Para |θ| pequeño se cumple sin θ ≈ θ (en radianes). La ecuación se vuelve lineal y obtenemos un MAS puro con T = 2π√(L/g).
El error es < 1 % para θ₀ < 15° y crece rápido a partir de 30°.
La fricción introduce un término −γ·dθ/dt que disipa energía. La amplitud cae exponencialmente, como e^(−γt/2), y la pulsación baja de ω₀ = √(g/L) a ω_d = √(ω₀² − γ²/4). Con γ pequeño frente a 2ω₀ el período apenas cambia (con γ = 0,05 en la Tierra y L = 1 m, un 0,003 % más), pero el efecto crece al acercarse a γ = 2ω₀: con la Luna, L = 5 m y γ = 0,5, el período pasa de 11,04 s a 12,29 s. A partir de γ = 2ω₀ (amortiguamiento crítico o sobreamortiguado) el péndulo vuelve a la vertical sin oscilar.
Despejando de T = 2π√(L/g) → g = 4π²·L/T². Midiendo L con regla y T con cronómetro (mejor 20 oscilaciones para reducir error humano), se obtiene g con 3 cifras.
Es uno de los experimentos clásicos de bachillerato.
El péndulo simple idealiza la masa concentrada en un punto y la cuerda sin masa. El péndulo físico (varilla, regla, cuerpo extendido) usa T = 2π√(I / m·g·d), donde I es el momento de inercia y d la distancia al pivote.
Más lento. Como g_Luna ≈ 1,62 m/s² ≈ g_Tierra/6, el período se multiplica por √6 ≈ 2,45. Un péndulo de 1 m que en la Tierra hace T = 2,01 s, en la Luna hace T ≈ 4,93 s.
Cómo Resolver un Problema de Péndulo — Paso a Paso
¿Es un péndulo simple (masa puntual + cuerda) o un péndulo físico? ¿Hay rozamiento o se asume ideal? ¿Qué valor de g aplica?
Aplica ω = √(g/L) y T = 2π/ω. Si θ₀ > 15°, añade la corrección 1 + θ₀²/16 para mayor precisión.
En MAS sin amortiguar: θ(t) = θ₀·cos(ω·t + φ). El desfase φ depende de las condiciones iniciales: si parte del reposo en θ₀, entonces φ = 0.
Suelen ser θ(0) = θ₀ y dθ/dt(0) = 0 (soltado desde el reposo). Sustituye para determinar amplitud y fase.
Energía total E = m·g·L·(1 − cos θ₀). En el punto más bajo toda es cinética: v = √(2·g·L·(1 − cos θ₀)).
Mejores Prácticas
Las fórmulas del MAS exigen radianes. Convierte: rad = grados · π / 180.
Para reducir error: cronometra 10–20 oscilaciones y divide entre el número.
Por encima de 15° el MAS deja de ser una buena aproximación.
En el ecuador g ≈ 9,78 m/s²; en los polos ≈ 9,83 m/s². Usa el valor local.
Sin fricción, E_c + E_p debe ser constante. Es una buena prueba de tu modelo.
Para entender el efecto de L o g, mantén el resto fijo. Es la base del método científico.
- Confundir frecuencia f (Hz) con frecuencia angular ω (rad/s): ω = 2π·f.
- Usar grados en sin θ o en la fórmula de T sin convertir a radianes.
- Asumir que T = 2π√(L/g) vale para cualquier ángulo — solo es válido para θ₀ pequeño.
- Ignorar el rozamiento o la resistencia del aire al medir g experimentalmente.
- Confundir la masa m y la longitud L como si afectaran ambas a T (solo L lo hace).
- Modelar un péndulo físico (regla, varilla) como simple: el momento de inercia importa.