La geometría que estudia propiedades invariantes bajo deformación continua. Una taza de café y un donut son el mismo objeto topológico.
Superficies · Genus · Nudos · Característica de Euler
Pulsa una superficie para ver sus propiedades topológicas en detalle.
La superficie de un donut o rosquilla. Tiene exactamente un agujero. Topológicamente, también equivale a una taza de café con asa: ambos tienen genus 1.
El genus cuenta el número de «asas» de una superficie. Cada asa añade −2 a la característica de Euler.
Ejemplo: Toro, taza de café
Una sola asa añadida. El "donut" es el representante más conocido. Una taza de café con asa también tiene genus 1.
Tomamos la esfera y le añadimos 1 asa (cilindro que conecta dos puntos de la esfera).
χ = 2 − 2g = 2 − 2×1 = 0Un nudo es un círculo cerrado en el espacio 3D. Dos nudos son equivalentes si se puede deformar uno en el otro sin cortar.
Comparativa de superficies con su característica de Euler χ = V − E + F.
| Superficie | Cerrada | Orientable | Genus | χ = V − E + F |
|---|---|---|---|---|
| Esfera | Sí | Sí | 0 | 2 |
| Toro | Sí | Sí | 1 | 0 |
| Doble toro | Sí | Sí | 2 | -2 |
| Triple toro | Sí | Sí | 3 | -4 |
| Plano proyectivo | Sí | No | 0 | 1 |
| Banda de Möbius | No | No | 0 | 0 |
| Botella de Klein | Sí | No | 0 | 0 |
La geometría de las formas que importan sin medidas exactas
La topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los espacios geométricos que se conservan bajo deformaciones continuas: estirar, comprimir, doblar... pero nunca cortar ni pegar. A estas transformaciones se las llama homeomorfismos.
Para la topología, un cubo y una esfera son el mismo objeto: puedes deformar uno hasta obtener el otro. Pero una esfera y un toro (donut) son distintos: no hay forma de convertir uno en el otro sin cortar o crear un agujero.
Dos espacios son homeomorfos si existe una función continua biyectiva entre ellos cuya inversa también es continua. En la práctica: si puedes deformar uno en el otro sin romper ni pegar nada. Ejemplos clásicos:
La equivalencia taza-donut es famosa porque parece absurda: imaginamos que para pasar de un donut a una taza necesitas añadir material. Pero topológicamente, basta con ir "empujando" la masa del donut para crear la depresión de la taza, conservando el asa.
Una superficie es orientable si un observador que recorra toda la superficie vuelve al punto de partida con su orientación original (sin haberse "volteado"). La esfera y el toro son orientables. La banda de Möbius no lo es: si recorres la única cara de la banda, llegas al punto de partida habiendo dado una vuelta completa, pero en el lado opuesto.
La banda de Möbius también tiene un solo borde (no dos), algo que puedes verificar físicamente: coge una tira de papel, dale media vuelta y pega los extremos. Si dibujas una línea por el borde sin levantar el lápiz, recorrerás todo el borde y volverás al inicio.
La botella de Klein es una superficie cerrada (sin bordes) que no es orientable y no tiene interior diferenciado del exterior. No puede existir en tres dimensiones sin auto-intersectarse — necesitaría la cuarta dimensión para construirse sin cruzarse. Se puede pensar como "dos bandas de Möbius pegadas por su borde".
Para cualquier poliedro convexo (genus 0): V − E + F = 2, donde V son vértices, E aristas y F caras. Este resultado, descubierto por Euler en 1750, es un invariante topológico: no cambia si deformas el poliedro.
La fórmula general para superficies orientables es χ = 2 − 2g, donde g es el genus. Por eso la esfera (g=0) tiene χ=2, el toro (g=1) tiene χ=0, y el doble toro (g=2) tiene χ=−2.