Permutaciones, combinaciones, triángulo de Pascal y binomio de Newton — con árboles animados y patrones ocultos
El orden importa. Elige 2 de 4 en secuencia.
El orden NO importa. Grupos de 2 de 4.
Ramas seleccionadas muestran una ruta P(n,k).
Permutaciones, combinaciones, triángulo de Pascal, principio de multiplicación y binomio de Newton
La diferencia fundamental: en una permutación el orden importa (ABC ≠ BAC), mientras que en una combinación solo importa qué elementos se eligen (ABC = BAC). Fórmulas: P(n,k) = n!/(n-k)! y C(n,k) = n!/(k!·(n-k)!).
Descrito en China por Yang Hui (s. XIII) y en Europa por Pascal (1665), este triángulo esconde múltiples patrones: los números de Fibonacci en sus diagonales, potencias de 2 en las sumas de fila, números triangulares en la columna k=2, y el fractal de Sierpinski al resaltar los números impares.
Si una tarea se divide en pasos independientes con n₁, n₂, …, nₖ opciones cada uno, el total de maneras de completarla es n₁ × n₂ × … × nₖ. Es la base del conteo combinatorio.
(a+b)^n = Σ C(n,k)·a^(n-k)·b^k. Los coeficientes son exactamente la fila n del triángulo de Pascal. Para n=2: a²+2ab+b²; para n=3: a³+3a²b+3ab²+b³.
RSA usa combinatoria para calcular el espacio de claves (2^2048 posibilidades para RSA-2048). En probabilidad, C(n,k) cuenta los casos favorables de eventos binomiales. La distribución binomial P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k) modela lanzamientos de moneda, ensayos clínicos y control de calidad industrial.
| Permutación P(n,k) | Combinación C(n,k) | |
|---|---|---|
| ¿Importa el orden? | Sí | No |
| Fórmula | n! / (n−k)! | n! / k!(n−k)! |
| P(5,2) vs C(5,2) | 20 | 10 |
| Ejemplo | Podio 1º/2º/3º en 5 corredores | Equipo de 2 en 5 personas |
| Relación | P(n,k) = k! · C(n,k) | C(n,k) = P(n,k) / k! |
| Uso típico | Contraseñas, pódios, ordenaciones | Equipos, muestras, selecciones |
Las contraseñas de 8 caracteres en un alfabeto de 62 son permutaciones (el orden importa). El espacio de clave de AES-256 equivale a C(256, muchos bits) posibles combinaciones.
Permutaciones = ordenaciones → seguridad por espacio de clave
Las combinaciones calculan genotipos posibles: un organismo diploide con k loci heterocigóticos de n totales tiene C(n,k) combinaciones posibles de alelos.
Combinaciones = grupos sin orden → diversidad genética
La distribución binomial es combinatoria aplicada a probabilidad: P(k éxitos en n ensayos) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). Base de tests A/B, control de calidad y ensayos clínicos.
C(n,k) cuenta los casos favorables de eventos binomiales
Los grupos de fase regular son combinaciones (no importa quién es local). Los cruces de eliminatoria son permutaciones (local vs visitante cambia el resultado esperado).
Fase de grupos = C(n,2) partidos por grupo
La pregunta clave es: ¿el resultado A,B es diferente de B,A? Si sí (podio, PIN, contraseña) → permutación. Si es lo mismo (equipo, muestra, grupo) → combinación.
n! = 1×2×3×…×n cuenta todas las maneras de ordenar n elementos distintos. Las fórmulas de permutación y combinación dividen por los factoriales de los elementos que NO queremos ordenar.
Al expandir (a+b)^n, cada término tiene la forma C(n,k)·a^(n-k)·b^k. Los coeficientes C(n,k) son exactamente la fila n del triángulo de Pascal porque Pascal construyó su triángulo precisamente a partir de los coeficientes binomiales.
Si una tarea tiene etapas independientes con n₁, n₂, …, nₖ opciones cada una, el total es n₁×n₂×…×nₖ. Aplica cuando las elecciones en cada etapa no afectan las opciones de las demás.
La secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… se forma sumando los dos anteriores. Aparece en el triángulo de Pascal al sumar las diagonales ascendentes (↗): cada diagonal suma un número de Fibonacci.
Aproximadamente 6,67 × 10²¹ sudokus válidos completos (sin contar simetrías). Este enorme número se calcula con principio multiplicativo y combinaciones con restricciones de cada fila, columna y caja 3×3.
¿El resultado A,B es diferente de B,A? Si sí → Permutación. Si es el mismo resultado → Combinación.
n es el total de elementos disponibles. k es cuántos se eligen o se ordenan. Verifica que k ≤ n.
Permutación: P(n,k) = n!/(n−k)!. Combinación: C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]. Usa la calculadora de esta app para valores grandes.
Si el problema tiene múltiples etapas independientes, calcula cada una por separado y multiplica todos los resultados entre sí.
C(n,k) siempre es menor o igual que P(n,k). Además, C(n,k) = C(n, n−k): elegir 3 de 10 da el mismo número que "rechazar" 7 de 10.
"Grupos", "equipos", "muestras" → combinaciones. "Pódio", "ordenar", "contraseña" → permutaciones.
C(n,k) = C(n, n−k). Elegir 3 de 10 = rechazar 7 de 10. Usa la versión más sencilla de calcular.
Evita calcular factoriales grandes: cada número es suma de los dos de arriba. Construye el triángulo para valores pequeños.
P(k éxitos en n) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). Combinatoria aplicada directamente a probabilidad.
El tamaño del espacio de clave (permutaciones o combinaciones posibles) determina la seguridad. Más bits = más seguridad logarítmica.