Cuerpo central
Parámetros de la órbita
Órbitas reales
El periodo coincide con el día sidéreo y el satélite parece quieto
La órbita
El cuerpo central ocupa un foco de la elipse, no su centro: esa es la primera ley de Kepler. El satélite no gira a ritmo constante — la línea que lo une al foco barre áreas iguales en tiempos iguales, así que se acelera al acercarse.
Resultados
Geometría y periodo
Velocidades
Relación entre extremos: vp/va = (1+e)/(1−e) = 1,000
Energía
Esa constante es la misma para cualquier órbita alrededor de Tierra: cambia el semieje y compruébalo.
Instante actual
Calculada con la ecuación vis-viva, v = √(μ·(2/r − 1/a)).
Guía de mecánica orbital
Las tres leyes de Kepler, la vis-viva y la energía de una órbita
Kepler dedujo sus tres leyes entre 1609 y 1619 a partir de las observaciones de Marte hechas por Tycho Brahe, sin saber por qué funcionaban. Setenta años después Newton demostró que las tres son consecuencia de una sola cosa: una fuerza atractiva que decrece con el cuadrado de la distancia. Por eso las mismas fórmulas describen a un planeta alrededor del Sol, a la ISS alrededor de la Tierra y a Ganimedes alrededor de Júpiter — solo cambia la masa del cuerpo central.
Fórmulas clave
| Magnitud | Fórmula | Unidad SI | Qué conviene recordar |
|---|---|---|---|
| Periodo orbital | T = 2π·√(a³/GM) | s | No depende ni de la excentricidad ni de la masa del satélite |
| Velocidad en un punto | v = √(GM·(2/r − 1/a)) | m/s | Ecuación vis-viva: sirve en cualquier punto de la órbita |
| Velocidad circular | v = √(GM/r) | m/s | Caso particular de la vis-viva cuando r = a |
| Velocidad de escape | v = √(2GM/r) | m/s | Es √2 veces la circular a esa misma distancia |
| Distancias extremas | r = a(1∓e) | m | Menos para el punto más cercano, más para el más lejano |
| Energía específica | ε = −GM/2a | J/kg | Negativa en toda órbita cerrada; solo depende de a |
Las tres leyes, una a una
Primera: la elipse
La órbita es una elipse con el cuerpo central en uno de los focos. El otro foco está vacío. Cuando la excentricidad es casi cero los dos focos se juntan en el centro y la elipse es indistinguible de una circunferencia: es lo que ocurre con Venus (e = 0,0068).
Segunda: las áreas
El radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. Como cerca del cuerpo central el radio es corto, el satélite tiene que recorrer más ángulo para barrer la misma área: por eso acelera. Es la conservación del momento angular escrita en lenguaje geométrico.
Tercera: T² ∝ a³
El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor. La constante de proporcionalidad depende solo de la masa del cuerpo central, así que medir T y a de un satélite es la forma habitual de pesar un planeta.
Lo que Kepler no vio
Las tres leyes son aproximaciones excelentes pero no exactas: suponen dos cuerpos aislados y masa despreciable del satélite. Con más cuerpos aparecen perturbaciones, como el avance del perihelio de Mercurio que solo la relatividad general explicó del todo.
Preguntas frecuentes
Porque en una órbita muy alargada el satélite recorre más camino, pero también pasa mucho tiempo muy lejos moviéndose despacio. Ambos efectos se compensan exactamente y el resultado depende solo del semieje mayor.
Compruébalo: fija el semieje y mueve la excentricidad de 0 a 0,9. El periodo no se mueve.
Porque la masa aparece a los dos lados de la segunda ley de Newton y se cancela: la fuerza gravitatoria es proporcional a la masa, y la aceleración que produce esa fuerza es inversamente proporcional a ella. Es la misma razón por la que dos objetos distintos caen a la vez en el vacío.
La orbital mantiene al cuerpo dando vueltas; la de escape es la mínima necesaria para no volver nunca. A una distancia dada, la de escape es exactamente √2 ≈ 1,414 veces la circular. Desde la superficie terrestre son 7,9 km/s y 11,2 km/s.
Matemáticamente sí, pero por debajo de unos 160 km la atmósfera frena tanto al satélite que la órbita se degrada en días. Y si el periastro cae por debajo del radio del cuerpo, la órbita simplemente choca: el simulador lo avisa arriba.
Porque su semieje mayor es de unos 6.798 km, apenas 420 km por encima de la superficie. A esa distancia el periodo sale de unos 93 minutos, lo que da 15,5 órbitas diarias y un amanecer cada 45 minutos para su tripulación.
Cómo resolver un problema de órbitas
Todo el problema cuelga del producto GM, llamado parámetro gravitacional estándar.
Si el enunciado da una altitud, súmale el radio del cuerpo. Es el error más común de todos.
Si te dan las dos distancias extremas, a = (r_peri + r_apo)/2. Si te dan el periodo, despéjalo de la tercera ley.
e = (r_apo − r_peri)/(r_apo + r_peri), un número siempre entre 0 y 1.
Con a y r ya tienes todo. No hace falta memorizar fórmulas distintas para el periastro y el apoastro: son casos particulares de la misma.
Mejores prácticas
Metros, kilogramos y segundos. Mezclar kilómetros con G en unidades SI es la fuente número uno de resultados absurdos.
Una órbita baja terrestre ronda los 90 minutos y los 7,7 km/s. Si te sale un periodo de días, revisa las unidades.
Comparando dos órbitas del mismo cuerpo, (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³ y te ahorras el valor de GM.
El cuerpo central está en un foco; el otro está vacío. El centro geométrico no es ningún cuerpo.
- Usar la altitud sobre la superficie en lugar de la distancia al centro del cuerpo. Un satélite a 400 km de altura orbita a 6.771 km del centro de la Tierra.
- Colocar el cuerpo central en el centro de la elipse. Está en un foco, y esa es precisamente la primera ley.
- Creer que un satélite más pesado necesita ir más rápido. La masa del satélite se cancela en todas las fórmulas menos en la energía total.
- Aplicar v = √(GM/r) en una órbita elíptica. Esa fórmula solo vale para órbitas circulares; en general hay que usar la vis-viva.
- Confundir semieje mayor con distancia máxima. El semieje mayor es la media de las dos distancias extremas, no la mayor de ellas.
- Olvidar que la energía orbital es negativa y buscar el error cuando sale con signo menos. Una energía positiva significaría que el cuerpo escapa.