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Números primos, factorización, MCD, MCM, divisores y aritmética modular
¿Es primo?
25
Entre 2 y 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Descubre la belleza de los números enteros
La teoría de números estudia las propiedades de los números enteros. Es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y tiene aplicaciones fundamentales en criptografía moderna.
Un número mayor que 1 que solo es divisible por 1 y por sí mismo. Son los "átomos" de los números: todo entero se descompone en primos de forma única (Teorema Fundamental de la Aritmética).
MCD: mayor número que divide a ambos. MCM: menor número divisible por ambos. Relación: MCD(a,b) × MCM(a,b) = a × b. Algoritmo de Euclides para calcular MCD.
Iguales a la suma de sus divisores propios. Ejemplos: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Relacionados con primos de Mersenne (2^p - 1).
Lo contrario de un primo: en vez de tener los divisores justos, tiene más que cualquier número menor que él. 12 tiene 6 divisores y ninguno de los once anteriores llega a 6. Siguen 24, 36, 48, 60, 120… hasta el infinito.
"Matemáticas del reloj": a ≡ b (mod n) si n divide a (a-b). Base de RSA y criptografía. La función φ(n) de Euler cuenta coprimos menores que n.
Un número es altamente compuesto —«antiprimo» en su nombre divulgativo— cuando tiene más divisores que cualquier número menor que él. El primo es el número con los divisores justos, dos; el antiprimo es el que bate el récord contrario. Ramanujan los estudió sistemáticamente en 1915, en el artículo donde acuñó el término highly composite number, y la serie no se acaba nunca: siempre hay un número con más divisores que todos los anteriores.
| Antiprimo | Factorización | Divisores | Qué récord bate |
|---|---|---|---|
| 6 | 2 × 3 | 4 | El primero con 4 divisores |
| 12 | 2² × 3 | 6 | El primero con 6, y por eso la docena |
| 24 | 2³ × 3 | 8 | El primero con 8: las horas del día |
| 36 | 2² × 3² | 9 | El primero con 9 |
| 60 | 2² × 3 × 5 | 12 | El primero con 12: minutos y segundos |
| 360 | 2³ × 3² × 5 | 24 | El primero con 24: los grados del círculo |
| 2520 | 2³ × 3² × 5 × 7 | 48 | El menor divisible por todo del 1 al 10 |
| 5040 | 2⁴ × 3² × 5 × 7 | 60 | El primero con 60 divisores |
La hora no se parte en 100 sino en 60, que admite 12 formas de repartirse: media hora, un tercio, un cuarto, un quinto, un sexto, diez minutos, un cuarto de hora… Con 100 minutos, el tercio de hora no existiría. El sistema sexagesimal viene de Babilonia y la explicación que más se repite es justamente esa comodidad para dividir, aunque los historiadores discuten cuánto pesó frente a otras razones de su forma de contar.
Con 24 divisores, el círculo se parte en mitades, tercios, cuartos, quintos, sextos, octavos, novenos, décimos, doceavos… todos con grados enteros. Un círculo de 100 grados solo admitiría mitades, cuartos, quintos y décimos: se acabaron los 120° del triángulo equilátero.
12 tiene 6 divisores frente a los 4 del 10. Una docena de huevos se reparte entre 2, 3, 4 o 6 personas sin partir ninguno; diez, solo entre 2 y 5. Lo mismo explica los 12 meses, las 24 horas y que las cajas de la industria vengan en 12, 24 o 36 unidades y no en 10, 20 o 30.
En Las Leyes (libro V), Platón propone que su ciudad ideal tenga exactamente 5040 hogares, y da la razón: admite muchísimas divisiones para repartir tierras, turnos e impuestos. Es divisible por todos los números del 1 al 10 y tiene 60 divisores en total. Un antiprimo elegido a propósito veintitrés siglos antes de que tuvieran nombre.
Una clase de 24 se organiza en parejas, tríos, grupos de 4, de 6, de 8 o de 12 sin que sobre nadie. Una de 23 solo admite un grupo entero: 23 es primo. Por eso los aforos, los equipos y los torneos tienden a números como 12, 16, 24 o 32.
El compás de 12/8 se subdivide en 2, 3, 4 o 6 pulsos, y de ahí que sostenga a la vez el blues, la seguiriya y la nana. Un compás de 11 tiempos no se deja partir: existe, pero suena a rompecabezas a propósito.
Los números se organizan en conjuntos anidados: cada conjunto amplía al anterior añadiendo nuevos elementos.
| Conjunto | Qué incluye | Ejemplos | Op. cerradas | Aplicación típica |
|---|---|---|---|---|
| Naturales (ℕ) | Enteros positivos desde 1 (o 0 según convenio) | 1, 2, 3, 97, 1000 | +, × | Contar elementos, índices de arrays |
| Enteros (ℤ) | Naturales + cero + negativos | −5, 0, 7, −1000 | +, −, × | Temperaturas, deudas, posiciones relativas |
| Racionales (ℚ) | Fracciones p/q con q ≠ 0 | 1/2, −3/4, 0,333… | +, −, ×, ÷ | Proporciones, probabilidades, tipos de interés |
| Irracionales (ℝ\ℚ) | Decimales infinitos no periódicos | √2 ≈ 1,414…, π ≈ 3,14159…, φ ≈ 1,618… | +, −, ×, ÷ (resultado puede ser racional) | Geometría, trigonometría, diseño áureo |
| Reales (ℝ) | Racionales + irracionales; toda la recta numérica | −7, 0, 2/3, π, e, √5 | +, −, ×, ÷ | Física, estadística, cálculo diferencial |
| Complejos (ℂ) | Reales + parte imaginaria (a + bi, i² = −1) | 3 + 2i, −i, 0 + 5i | +, −, ×, ÷ | Ingeniería eléctrica, señales AC, mecánica cuántica |
Situación: Estudia conjuntos numéricos para el examen de 4.º ESO.
Ejemplo: Clasificar √2 (irracional), 3/7 (racional), −5 (entero), π (trascendente). Usar la calculadora para verificar si 97 es primo antes del examen.
Tip: repasa que ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — cada conjunto contiene al anterior.
Situación: Implementa RSA-2048 para cifrar comunicaciones.
Ejemplo: RSA elige dos primos p y q de ~1.024 bits cada uno. Su producto n = p×q (2.048 bits) forma la clave pública. La seguridad depende de que factorizar n sea computacionalmente inviable.
Tip: usa la aritmética modular para calcular d×e ≡ 1 (mod φ(n)) — la clave privada.
Situación: Estudia el Teorema Chino del Resto para sistemas de congruencias.
Ejemplo: Resolver x ≡ 2 (mod 3) y x ≡ 3 (mod 5). Por TCR, como MCD(3,5)=1, existe solución única módulo 15: x = 8. Verificar: 8 mod 3 = 2 ✓, 8 mod 5 = 3 ✓.
Tip: el TCR funciona solo si los módulos son coprimos dos a dos (MCD = 1).
Situación: Analiza impedancias en circuitos de corriente alterna.
Ejemplo: La impedancia Z = R + jX donde j es la unidad imaginaria (j² = −1). Un circuito RLC tiene Z = 50 + j·30 Ω. El módulo |Z| = √(50² + 30²) ≈ 58,3 Ω determina la corriente máxima.
Tip: los números complejos en forma polar (|Z|∠θ) simplifican la multiplicación de impedancias.
Un número primo es un entero mayor que 1 cuyo únicos divisores son 1 y él mismo. Para verificar si n es primo, basta dividirlo por todos los enteros de 2 hasta √n: si ninguno divide exactamente, es primo. Por ejemplo, 97 es primo porque no es divisible por 2, 3, 5, 7 (los únicos primos ≤ √97 ≈ 9,8).
Primeros 15 primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Infinitos. Euclides lo demostró hacia el año 300 a.C. mediante reducción al absurdo: si existiera un primo máximo, el producto de todos los primos más 1 sería divisible por un primo no incluido en la lista, contradicción. El teorema de los números primos establece que la cantidad de primos menores que n es aproximadamente n / ln(n).
Todo entero mayor que 1 se puede expresar como producto de números primos de forma única (salvo el orden). Por ejemplo, 360 = 2³ × 3² × 5. Esta unicidad hace a los primos los "bloques de construcción" de los enteros y es la base de la factorización usada en criptografía.
RSA, el algoritmo más usado en internet (HTTPS, SSH, PGP), basa su seguridad en la dificultad de factorizar el producto de dos primos grandes. Dado n = p × q con p y q primos de 1.024 bits cada uno, factorizar n requiere miles de años con los mejores algoritmos actuales, aunque multiplicar p × q lleva microsegundos.
Sistema donde los números "dan la vuelta" al llegar a un módulo m, como las horas en un reloj de 12h. Se escribe a ≡ b (mod m) si m divide a (a − b). Aplicaciones: criptografía (RSA, AES), códigos ISBN/IBAN (dígitos de control), calendarios (día de la semana de cualquier fecha) y teoría de juegos.
Todo trascendente es irracional, pero no al revés. Un número irracional no se puede expresar como p/q (ej: √2). Un número trascendente además no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros (ej: π, e). √2 es irracional pero algebraico (raíz de x² − 2 = 0). π y e son trascendentes.
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887… Es la solución positiva de x² = x + 1. Aparece en la sucesión de Fibonacci (el cociente de términos consecutivos tiende a φ), en proporciones estéticas del arte y arquitectura, en la espiral de las conchas y en la distribución de hojas (filotaxia). 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618.
φ ≈ 1,618 — razón áurea presente en el Partenón, obras de Da Vinci y en la naturaleza.
Es un test probabilístico que determina si n es probablemente primo en tiempo O(k · log²n), donde k es el número de rondas. Escribe n − 1 = 2ˢ · d, elige una base a aleatoria y comprueba si aᵈ ≡ 1 (mod n) o a²ʳᵈ ≡ −1 (mod n) para algún r. Con k = 40 rondas, la probabilidad de error es menor que 4⁻⁴⁰ ≈ 10⁻²⁴. OpenSSL usa este test para generar claves RSA.
Aprende a factorizar cualquier entero positivo usando la criba de Eratóstenes y el método de división por prueba.
Para factorizar n, solo necesitas los primos hasta √n. Ejemplo: para n = 360, √360 ≈ 18,9, así que necesitas los primos hasta 18: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}.
360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45. Ya no es divisible por 2. Anotamos el factor 2³.
45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5. Ya no es divisible por 3. Anotamos 3².
5 ÷ 5 = 1. El cociente es 1, hemos terminado. Anotamos 5¹. Resultado: 360 = 2³ × 3² × 5.
2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 8 × 45 = 360. ✓ El número de divisores es (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24 divisores.
Si tras dividir por todos los primos hasta √n el cociente restante es mayor que 1, ese cociente es un factor primo. Si desde el inicio ningún primo hasta √n divide a n, entonces n es primo. Ejemplo: para 97, ningún primo hasta 9 (2, 3, 5, 7) divide a 97, así que 97 es primo.
Crea un array de booleanos de tamaño n+1 inicializado a verdadero. Marca como falso los múltiplos de cada primo p comenzando desde p². Al terminar, los índices que siguen siendo verdaderos son primos. Para el rango 1–50 obtienes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 (15 primos).
Si n tiene un divisor d > √n, entonces n/d < √n ya fue encontrado antes. Esto reduce la complejidad de O(n) a O(√n) — para n = 10⁹, de 10⁹ a solo ~31.623 iteraciones.
Descarta candidatos rápidamente: divisible por 2 si termina en par, por 3 si la suma de dígitos es múltiplo de 3, por 5 si termina en 0 o 5, por 7 aplica la regla de los 2 últimos dígitos. Esto evita cálculos costosos.
Si tienes un sistema de congruencias con módulos coprimos, el TCR garantiza solución única módulo el producto de los módulos. Útil para reducir cálculos: trabajar módulo 3 y 5 por separado y combinar en módulo 15.
Calcular aⁿ mod m directamente desborda. La exponenciación binaria descompone el exponente en potencias de 2 y aplica mod en cada paso: complejidad O(log n) en lugar de O(n). Esencial para RSA con exponentes de 2.048 bits.
MCD(a, b) = MCD(b, a mod b), con caso base MCD(a, 0) = a. Ejemplo: MCD(252, 105) → MCD(105, 42) → MCD(42, 21) → MCD(21, 0) = 21. Solo 4 pasos frente a listar todos los divisores.
La criba de Eratóstenes clásica requiere O(n) memoria. La criba segmentada divide el rango en bloques del tamaño de la caché L1 (~32 KB), calculando cada bloque independientemente. Permite encontrar primos hasta 10¹² con memoria constante.