📊 Normal (Gaussiana)
La distribución más importante en estadística. Describe fenómenos naturales como alturas, pesos, errores de medición. El Teorema Central del Límiteexplica por qué: la suma de muchas variables aleatorias tiende a ser normal.
f(x) = (1/σ√2π) e^(-(x-μ)²/2σ²)
🎲 Poisson
Modela el número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio cuando los eventos ocurren independientemente. Ejemplos: llamadas por hora, defectos por metro, accidentes por día.
P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!
⏱️ Exponencial
Tiempo de espera entre eventos de Poisson. Tiene la propiedad de "sin memoria": la probabilidad de esperar más tiempo no depende de cuánto ya has esperado. Usada en fiabilidad y colas.
f(x) = λe^(-λx) para x ≥ 0
🔲 Uniforme
Todos los valores en un rango tienen la misma probabilidad. Representa incertidumbre total sobre dónde caerá un valor. Usada en generación de números aleatorios y como prior no informativo.
f(x) = 1/(b-a) para a ≤ x ≤ b
📈 Gamma
Generaliza la exponencial. Modela el tiempo hasta que ocurran α eventos de Poisson. Muy flexible: incluye exponencial (α=1) y chi-cuadrado como casos especiales. Usada en fiabilidad y climatología.
f(x) = (x^(α-1) × e^(-x/β)) / (β^α × Γ(α))
🔄 Beta
Define probabilidades sobre el intervalo [0,1]. Ideal para modelar proporciones, tasas de éxito, o como prior en inferencia bayesiana. Muy flexible según los valores de α y β.
f(x) = x^(α-1)(1-x)^(β-1) / B(α,β)
🎯 Binomial
Número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p. Ejemplos: caras en n lanzamientos, clientes que compran de n visitantes. Para n grande y p pequeño, se aproxima a Poisson.
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
🎓 t de Student
Similar a la normal pero con colas más pesadas. Se usa cuando estimamos la media poblacional con muestras pequeñas y σ desconocida. Con más grados de libertad, se aproxima a la normal.
Grados de libertad = n - 1
PDF vs CDF
PDF (Función de Densidad): Altura de la curva en un punto. En distribuciones continuas NO es probabilidad directamente.
CDF (Función de Distribución): Área bajo la curva hasta x. P(X ≤ x) = área acumulada = probabilidad real.
Cuantiles
El cuantil p es el valor x tal que P(X ≤ x) = p. Ejemplo: el cuantil 0,95 de una N(0,1) es 1,645.
Percentil 95 = Cuantil 0,95 = Valor que deja el 95% de los datos por debajo.
👥 Casos de Uso por Perfil Profesional
Para exámenes y TFG: Verificar supuesto de normalidad antes de aplicar t-test o ANOVA. Con n=25 observaciones y σ desconocida, usa t(24) en lugar de Normal estándar. El intervalo de confianza al 95% se calcula como x̄ ± 2,064·(s/√25) con el cuantil t(0,975; 24)=2,064.
Herramienta clave: Selecciona t de Student con ν=n-1. Calcula el cuantil al 0,975 para tests bilaterales o al 0,95 para unilaterales.
Control estadístico de procesos (SPC):Las medidas de piezas siguen Normal(μ, σ). Six Sigma exige que los defectos queden fuera de ±6σ, lo que implica P(defecto) < 3,4 por millón. Para conteo de defectos por lote usa Binomial; para defectos por m² de superficie usa Poisson.
Herramienta clave: Normal para cartas de control X̄-R. Binomial para planes de muestreo de aceptación (n=50, p=0,02).
Modelos de riesgo: El número de siniestros por póliza sigue Poisson(λ). El importe por siniestro sigue Log-Normal o Gamma. VaR al 99,5% (Solvencia II): con cartera Normal(μ=1M€, σ=200k€), el capital requerido es μ - 2,576·σ = 485.200€. La t-Student modela retornos con colas pesadas.
Herramienta clave: Poisson para frecuencia de siniestros. Gamma(α=2, β=5000) para severidad media de reclamaciones de automóvil.
Machine learning y pruebas A/B:A/B testing bayesiano: tasa de conversión sigue Beta(α, β). Con prior Beta(1,1) y 30 éxitos en 100 visitas, el posterior es Beta(31,71) con media 30,4% y P(versión B > versión A) calculable analíticamente. Naive Bayes asume Normal para features continuas.
Herramienta clave: Beta(31,71) para modelar tasas de conversión post-experimento. Binomial para calcular significancia estadística de tests A/B.
❓ Preguntas Frecuentes sobre Distribuciones de Probabilidad
¿Cuándo usar Normal vs t-Student?
Usa Normal cuando conoces σ (desviación estándar poblacional) o tienes muestras grandes (n > 30). Usa t-Student cuando σ es desconocida y la estimas con la muestra. El cuantil t(0,975; ν=10) = 2,228 vs 1,960 de la Normal: la diferencia es relevante con muestras pequeñas. Con ν > 30, la t-Student converge prácticamente a la Normal estándar.
Regla práctica: si n < 30 y σ desconocida → siempre t-Student.
¿Qué es el p-valor y cómo interpretarlo correctamente?
El p-valor es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más que el observado, asumiendo que la hipótesis nula es cierta. p=0,03 NO significa "hay 3% de probabilidad de que H₀ sea verdadera". Significa: "si H₀ fuera cierta, solo el 3% de las muestras darían un estadístico tan extremo". Con α=0,05, rechazamos H₀ si p < 0,05.
Errores comunes: p < 0,05 no implica que el efecto sea grande ni importante en la práctica.
¿Diferencia entre distribución discreta y continua?
Discreta: toma valores aislados (enteros). P(X=k) son probabilidades reales que suman 1. Ejemplos: Poisson, Binomial. Continua: toma cualquier valor en un intervalo. f(x) es densidad, NO probabilidad. P(X=x) = 0 exactamente. Solo tiene sentido P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx = CDF(b) - CDF(a). Ejemplos: Normal, Exponencial, Gamma.
Señal de error: si dices "la probabilidad de exactamente 1,73" en una distribución continua, el resultado siempre es 0.
¿Qué es la función de densidad de probabilidad (PDF)?
La PDF f(x) describe la "densidad" de probabilidad en cada punto. Para obtener probabilidad real debes integrar: P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx. La PDF puede tomar valores mayores que 1 (ej: Normal(0; 0,1) tiene f(0) ≈ 3,99). La CDF F(x) = P(X ≤ x) siempre está entre 0 y 1 y es la que te da probabilidades directas.
Esta calculadora calcula tanto PDF (densidad en un punto) como CDF (área acumulada = probabilidad real).
¿Cómo verificar si mis datos siguen una distribución Normal?
1) Visual: histograma (forma de campana) y Q-Q plot (puntos sobre la diagonal). 2) Test de Shapiro-Wilk: p > 0,05 indica normalidad (potente para n < 50). 3) Test de Kolmogorov-Smirnov: adecuado para n > 50. 4) Coeficientes de asimetría (debe ser ≈ 0) y curtosis (debe ser ≈ 3). Si la muestra es grande (n > 100), el TCL hace que la media muestral sea normal aunque los datos no lo sean.
En R: shapiro.test(x) / En Python: scipy.stats.shapiro(x)
¿Cuándo usar Poisson vs Binomial?
Binomial(n, p): cuando hay un número fijo n de ensayos y cada uno tiene probabilidad p de éxito. Ejemplo: 200 piezas inspeccionadas, p=3% defectuosas. Poisson(λ): cuando n es muy grande y p muy pequeña (np = λ constante). Regla: si n > 100 y p < 0,01, Poisson ≈ Binomial con λ = n·p. Ejemplo: defectos en 1.000 metros de cable con p=0,002 → Poisson(λ=2).
También usa Poisson cuando no hay un "máximo" de eventos (llamadas por hora no tienen límite superior fijo).
¿Qué es el intervalo de confianza al 95%?
Si repitieras el experimento 100 veces, en 95 de ellas el intervalo calculado contendría el verdadero parámetro. Con Normal: IC₉₅ = x̄ ± 1,96·(σ/√n). Con t-Student (σ desconocida): IC₉₅ = x̄ ± t(0,975; n-1)·(s/√n). Para n=16, t(0,975; 15) = 2,131. El IC NO significa "hay 95% de probabilidad de que el parámetro esté en este intervalo".
Aumentar el nivel de confianza (99%) amplía el intervalo; aumentar n lo estrecha.
¿Qué es el Teorema Central del Límite (TCL)?
El TCL establece que la media muestral x̄ de n observaciones independientes de cualquier distribución (con media μ y varianza σ² finitas) converge a Normal(μ, σ²/n) cuando n → ∞. Prácticamente, con n ≥ 30 ya es una buena aproximación. Consecuencia: aunque los datos individuales sean exponenciales, uniformes o cualquier otra forma, su media sigue una distribución aproximadamente normal.
El TCL justifica por qué se usa el test t para medias incluso cuando los datos no son normales, siempre que n sea suficientemente grande.
✅ Mejores Prácticas al Trabajar con Distribuciones
📊Visualiza antes de asumir
Haz siempre un histograma y un Q-Q plot antes de seleccionar una distribución. El 70% de los errores en análisis estadístico provienen de asumir normalidad sin verificarla. Matplotlib, ggplot2 o incluso Excel permiten validaciones rápidas.
🔢Atención a la parametrización
La Exponencial tiene dos formas: con tasa λ (scipy.stats usa escala=1/λ) y con escala=1/λ. La Gamma en R puede especificarse con shape/rate o shape/scale. Verifica siempre la documentación. Un error de parametrización invierte el resultado completamente.
🔍Verifica la independencia
Binomial y Poisson asumen eventos independientes. Series temporales, datos autocorrelacionados o eventos que se "contagian" violan este supuesto. El test de Ljung-Box detecta autocorrelación. Si falla, los intervalos de confianza calculados serán incorrectos (demasiado estrechos).
⚠️Cuida las colas de la distribución
La Normal subestima la probabilidad de eventos extremos. En finanzas, seguros y gestión de riesgos, usa t-Student (colas pesadas) o distribuciones de Valores Extremos (GEV, GPD). El VaR al 99,9% basado en Normal puede subestimar el riesgo real en un factor de 3-5x.
📏Tamaño muestral y potencia estadística
Con n < 30, los tests son poco potentes (alta tasa de falsos negativos). Para detectar una diferencia de 0,5 desviaciones estándar con potencia 80% y α=0,05, necesitas n ≥ 64 por grupo. Usa pwr.t.test() en R o statsmodels.stats.power en Python para calcular n óptimo.
🧪Pruebas de bondad de ajuste siempre
Nunca publiques resultados sin validar el ajuste. KS test, Shapiro-Wilk, Chi-cuadrado y Anderson-Darling son complementarios: KS detecta diferencias en la mediana, AD es más sensible en las colas. Un p-valor > 0,05 no confirma la distribución, solo no la rechaza: reporta el estadístico de ajuste, no solo el p-valor.